Erwartungswerte im Quantenbahnformalismus

Question

Wenn ich den Erwartungswert eines Operators O im Quanten-Trajektorien-Formalismus wissen möchte, übermittle ich über $N$ Trajektorien, wo ich eine solche Trajektorie nenne $\Psi_n$::

\ begin {Gleichung} \ langle O \ rangle = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 1} ^ N \ langle \ Psi_n | O | \ Psi_n \ rangle, \ end {Gleichung} richtig?

Wenn ja, ist meine Frage: Ist das noch richtig, wenn das anders ist? $\Psi_n$ sind nicht orthogonal / parallel zueinander?

Zum Beispiel: Wenn ich an der durchschnittlichen Wahrscheinlichkeitsdichte der Positionsverteilung interessiert bin $\rho$bekomme ich es durch Berechnung:

\ begin {Gleichung} \ rho (x) = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 1} ^ N \ Psi ^ * _ n (x) \ Psi_n (x), \ end {Gleichung}

selbst wenn $\langle \Psi_n(x)|\Psi_m(x) \rangle \neq \delta_{n,m} $?

Wenn nicht, wie lautet die richtige Formel?

Answer 1

Ja, es ist immer noch richtig. Es ist sogar der übliche Fall.

Vorausgesetzt, Sie haben eine ausreichende Anzahl von Trajektorien abgetastet, um statistische Signifikanz zu erreichen. Dies ist die Sache, Sie tasten die Dichtematrix zufällig ab, und jede dieser Abtastungen (die Trajektorien) kann Beiträge zu allen möglichen Eigenvektoren gleichzeitig in einer vollständigen Auswahlbasis enthalten.