Existenz- und Einzigartigkeitsnachweise
Ich versuche den folgenden Satz zu beweisen (und bitte geben Sie mir keinen Beweis, dies ist eine konzeptionelle Frage):
(Negoita und Ralescus Repräsentationssatz) Lass es sein$A_{\alpha}$, $\alpha \in [0,1]$, eine Familie knackiger Untergruppen von $U$ so dass Folgendes wahr ist:
$\displaystyle \bigcup_{\alpha \in [0,1]} A_{\alpha} \subset A_{0}$;;
$A_{\alpha} \subset A_{\beta}$ wenn $\beta \leq \alpha$
$\displaystyle A_{\alpha} = \bigcap_{k \geq 0} A_{\alpha_{k}}$ se $\alpha_{k}$ Convergir Abs $\alpha$ com $\alpha_{k} \leq \alpha$, para todo $k \geq 0$.
Unter diesen Bedingungen gibt es eine und nur eine Fuzzy-Menge $A$ im $U$ auf welche $$A_{\alpha} = [A]^{\alpha}.$$
Dieser Satz dient nur dazu, meine Frage zu kontextualisieren. Ich hatte immer Probleme mit dem Beweis dieser Art von Aussagen. Der Eindeutigkeitsteil ist ziemlich einfach. Nehmen Sie einfach an, dass solche Bedingungen zwei Dinge (Mengen, Gruppen usw.) erzeugen, und zeigen Sie dann, dass diese beiden Dinge tatsächlich gleich sind. Fertig, so einfach ist das.
Der Existenzteil, der mich immer zum "Stottern" gebracht hat, weil man in der Mathematik, wenn man möchte, dass etwas existiert, einfach sagt, dass es existiert, und dann die anderen Ergebnisse ableitet (ich vereinfache es einfach, hahaha). Aber wenn eines der Ergebnisse eine Existenz selbst ist, kann ich anscheinend keinen Weg finden, es zu zeigen. Und das gefährdet mein Selbstvertrauen als aufstrebender Mathematiker wirklich.
Was sind also die logischen Geräte, die ich für diese Art von Problemen verwenden kann? (das ist die wichtigste Frage).
Und wenn ich das zeige $[A]^{\alpha}$ befriedigt die $A_{\alpha}$ Eigenschaften zeige ich, dass es eine Fuzzy-Menge gibt $A$ (weil $[A]^{\alpha}$ kommt von $A$), oder zeige ich nur das Offensichtliche, dass diese beiden Familien nur diese 3 Eigenschaften teilen?
Antworten
Eine Möglichkeit, Existenz zu zeigen, ist die Konstruktion . Zum Beispiel möchten Sie das vielleicht für jedes Triple zeigen$(a, b, c)$ von ganzen Zahlen mit $$ 0 \le a < 2\\ 0 \le b < 3\\ 0 \le c < 5 $$ Es gibt eine ganze Zahl $n$ mit $$ n \bmod 2 = a\\ n \bmod 3 = b \\ n \bmod 5 = c. $$ Mit ein wenig Arbeit könnten Sie vielleicht etwas sagen wie "Lassen $$ n = (2 \cdot 3 + c) + (3 \cdot 5 + a) + (2 \cdot 5 + b)" $$ und dann zeig das $n$hat die drei erforderlichen Eigenschaften. (Diese spezielle Formel für$n$ funktioniert natürlich überhaupt nicht, aber ich kann mich nicht genug an den chinesischen Restsatz erinnern, um mich daran zu erinnern, wie man so etwas konstruiert.)
Alternativ kann manchmal Injektivität / Surjektivität helfen. Zum Beispiel könnten Sie das beobachten, wenn$k$ und $p$ sind dann für jeden relativ erstklassig $s$, die Paare $$ (s \bmod k, s \bmod p)\\ (s+1 \bmod k, s+1 \bmod p)\\ \ldots\\ (s+pk-1 \bmod k,s+ bk-1 \bmod p) $$sind alle verschieden. Das lässt Sie sagen, dass es eine Nummer gibt$s$ zwischen $0$ und $2\cdot 3 - 1$ wessen Rest mod $2$ und mod $3$ sind $a$ und $b$(nach dem Pigeonhole-Prinzip). Und außerdem hinzufügen$6$ zu $s$ ändert seine Reste nicht, also unter den Zahlen $$ s + 0 s + 1\cdot 6 \\ \ldots\\ s + 5 \cdot 6) $$ die alle die gleichen Reste mod 2 und mod 3 haben, die Reste mod 5 sind alle unterschiedliche Zahlen (nach dem gleichen kleinen Theorem), so dass Sie fünf unterschiedliche Zahlen zwischen 0 und 4 haben, daher muss jede (nach dem Pigeonhole-Prinzip) bei erscheinen mindestens einer, also einer von ihnen $c$.
In diesem Fall wird die Existenz eher indirekt (über eine Schublade) als konstruktiv gezeigt.