Exponentialintegral auf n-dimensionaler Einheitskugel

Question

Ich möchte die Erwartung von berechnen $\exp(\sum x_i)$ unter der gleichmäßigen Verteilung auf der Kugel mit Radius $r> 0$. Zu diesem Zweck möchte ich folgendes Integral bewerten:$$\int_{\large{x_1, \ldots, x_n,\ \sum x_i^2\ =\ r}}\exp\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\,\mathrm{d}x_1 \ldots \mathrm{d}x_n $$Das heißt, das Exponential der Summe der (kartesischen) Koordinaten auf der Kugel. Maple kann das nicht. Es ist leicht, Ergebnisse über die Integration von Polynomen in die Kugel zu finden, und ich habe etwas über die Integration von Just gefunden$\exp(x_1)$ auf der $n$-dimensionale Kugel, aber nichts auf dem Exponential der vollen Summe. Jede Hilfe wäre sehr dankbar!

Answer 1

Wenn Sie wissen, wie man integriert $\exp(x_1)$Sie kennen dieses Integral wie folgt. Schreiben$e_1$ für den Standardbasisvektor $(1, 0, 0, \dots)$ von $\mathbb{R}^n$, wo wir denken $x = (x_1, \dots x_n) \in \mathbb{R}^n$ als Vektor und schreiben $v = (1, 1, 1, \dots)$für den All-One-Vektor. Lassen Sie mich auch Ihre ersetzen$r$ mit einem $r^2$ damit $r$ ist die Länge $\| x \|$, was die Dinge schöner machen wird. Sie möchten berechnen

$$I(v, r) = \int_{|x| = r} \exp(\langle v, x \rangle) \, dV_x$$

(wo $dV_x$ ist eine Abkürzung, die ich gerade für das Volumenelement wettgemacht habe $dx_1 \dots dx_n$) und Sie sagen, Sie wissen, wie man rechnet

$$I(e_1, r) = \int_{|x| = r} \exp(\langle e_1, x \rangle) \, dV_x.$$

Aber durch sphärische Symmetrie ist das klar $I(v, r)$, als Funktion von $v$hängt nur von der Länge ab $v$! Wir können diese Integrale also tatsächlich aufeinander reduzieren. Schreiben$v = su$ wo $\| u \| = \frac{v}{\| v \|}$ ist ein Einheitsvektor und $s = \| v \|$ ist die Länge von $v$ (was in diesem Fall ist $\sqrt{n}$). Dann

$$\langle v, x \rangle = \langle su, x \rangle = \langle u, sx \rangle$$

und so die Änderung der Koordinaten vornehmen $y = sx$ (damit $y_i = sx_i$) wir haben das

$$I(v, r) = \int_{|y| = sr} \exp(\langle u, y \rangle) \frac{dV_y}{s^n} = \frac{1}{s^n} I(u, sr) = \frac{1}{\sqrt{n}^n} I(e_1, \sqrt{n} r).$$