Extremwertsatz in der Wirtschaft

Question

Würde mich über einige Gedanken zum Nachweis der Existenz einer Lösung (maximal) in einem angewandten Kontext freuen.

Angenommen, die Zielfunktion besteht darin, den Nutzen zu maximieren:

$\max\Sigma\beta U(C_t)$

Vorbehaltlich einiger Ressourcenbeschränkungen, sagen wir:

$\\C_t+K_{t+1} = F_F(K_F,E_F,S_t)$

Wo die Einschränkung die Ressourcenbeschränkung der Wirtschaft ist, einschließlich des aktuellen Verbrauchs $C_t$ und Investitionsmöglichkeiten $K_{t+1}$, gleich der Produktionsfunktion gesetzt $F_F$, die Argumente zum Kapital enthält $K_t$, Energie, $E_t$ und der Emissionsbestand $S_t$ (dh Emissionen beeinflussen die Produktionskosten).

Der Extremwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion in einer nicht leeren kompakten Menge ein Maximum (min.) Hat.

In dieser Hinsicht sind meine Fragen, welche Anforderungen erforderlich wären, um sicherzustellen, dass es einen realisierbaren Satz von Lösungen / einen kompakten Satz gibt.

• Nicht-Negativität von Variablen?
• Endbedingungen für die Variablen (dh sie sind in Zukunft alle erschöpft)?
• Ist es auch wichtig, dass die Einschränkung verbindlich ist / keine Ungleichung?

Würde mich sicher über ein paar Gedanken freuen.

Answer 1

Man kann die Existenz solcher optimalen Pläne mit dem Extremwertsatz von Weierstrass beweisen, aber es erfordert einige fortgeschrittene Mathematik.

Hier ist eine Spielzeugversion des Modells ohne Energie und Emissionen. Beide Funktionen des Sofortdienstprogramms$u:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ und die Produktionsfunktion $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$werden als kontinuierlich, nicht abnehmend und konkav angenommen. Außerdem,$u$wird als begrenzt (!) angenommen. Es ist das Grundkapital gegeben$k_1\geq 0$. Der Raum der realisierbaren Verbrauchs- und Produktionspläne ist definiert als$$F=\big\{(c_1,k_1,c_2,k_2,\ldots)\mid 0\leq k_{t+1}\leq f(k_t-c_t)\}, c_t\geq 0\big\}.$$ Diese Menge ist eine kompakte Teilmenge von $\mathbb{R}^\infty$mit der Produkttopologie ausgestattet . Die Utility-Funktion$U:F\to\mathbb{R}$ gegeben durch $$U(c_1,k_1,c_2,k_2,\ldots)=\sum_{t=1}^\infty \beta^t u(c_t)$$ist klar definiert und kontinuierlich in der Produkttopologie. Es existiert also ein optimaler Plan.

Einen allgemeineren Beweis für die Existenz optimaler Pläne in dieser Richtung finden Sie im Buch "Dynamische Programmierung in der Wirtschaft" von Le Van und Dana.

Answer 2

Derzeit würde ich weitere Informationen benötigen, um diese Frage zu beantworten. (Fehlende Details könnten für einen Ökonomen offensichtlich sein, mein Hintergrund liegt in der angewandten Mathematik.)

Der Extremwertsatz (z. B. Satz 4.16 von Rudins Prinzipien der mathematischen Analyse ) besagt, dass wenn$f$ ist eine kontinuierliche reelle Funktion auf einem kompakten metrischen Raum, dann für eine kompakte Teilmenge $M$, dann das Supremum und Infimum von $f$ werden irgendwann (S) innerhalb erreicht $M$.

Beispiele zu beachten.

• Kompakte Sets sind nicht unendlich. Die Funktion$f(x) = 1 - \frac{1}{x}$ erreicht sein Supremum am Set nicht $x \geq 1$.
• Es ist keine Wenn und Nur wenn Bedingung. Z.B$f(x) = x^2$erreicht es sein Infimum am $(-1,1)$, obwohl das Set nicht kompakt ist.

Die Frage gibt nicht alle Einschränkungen für das mathematische System an. Alles, was ich anbieten kann, sind die folgenden Punkte, wenn man den Satz anwenden möchte.

• Der Zeithorizont muss endlich sein, da sonst die realisierbare Lösungsmenge nicht kompakt wäre (wenn sie nicht leer ist).
• Zu jedem Zeitpunkt muss gezeigt werden, dass die zu diesem Zeitpunkt realisierbaren Werte kompakt sind. Wenn wir lineare Einschränkungen (Budgetbeschränkungen) haben, kann eine nicht negative Bedingung für Variablen dafür ausreichen.
• Einschränkungen $F_F$müssen entweder mit Gleichheit halten oder nicht strenge Ungleichheiten sein. Eine strikte Ungleichung könnte disqualifizierend sein (es wäre in Ordnung, wenn sie nicht bindend wäre.)
• Es muss möglicherweise nur gezeigt werden, dass die realisierbare Menge bei einer begrenzten Menge liegt und nicht leer ist (z. B. eine Lösung finden).
• Die Kontinuität der Utility-Funktion sollte unkompliziert sein.