$ f $ist differenzierbar in$ (0,0). $
Definition: Let$V\subseteq{\mathbb{R}^{m}}$eine offene Menge,$a\in V$j$f\colon V\to\mathbb{R}^{n}$es funktionierte. Das werden wir sagen$f$ist differenzierbar in$a,$wenn es eine lineare Transformation gibt$f'(a)\colon\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}$so dass \begin{equation} f(a+h)=f(a)+f'(a)(h)+r(h),\qquad\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{r(h). )}{\lVert h\rVert}}=0. \end{gleichung}
Lassen$ a \in \mathbb {R}$Getränk Definieren Sie die Funktion$ f \colon \mathbb {R}^ {2} \to \mathbb {R} $gegeben von
\begin{equation} f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{x\sin^{2}(x)+axy^{2}}{x^{2}+2y^ {2}+3y^{4}} & (x,y)\neq(0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right. \end{gleichung}
Finde den Wert von$ a $so dass$ f $ist differenzierbar durch$ (0,0). $
Mein Versuch:
Das haben wir beobachtet
\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0). \end{gleichung}
Wenn$(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\},$dann
\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\sin^{2}(x)(2y^{2}+3y^{4}-x^). {2})+x\sin(2x)(x^{2}+2y^{2}+3y^{4})+ay^{2}(2y^{2}+3y^{4}-x ^{2})}{(x^{2}+2y^{2}+3y^{4})^{2}} \end{equation}
\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{2axy(x^{2}-3y^{4})-4xy\sin^{2}(x )(1+3y^{2})}{(x^{2}+2y^{2}+3y^{4})^{2}} \end{equation}
Wenn$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0,$dann
\begin{align} 2axy(x^{2}-3y^{4})-4xy\sin^{2}(x)(1+3y^{2})=0&\quad\Longleftrightarrow\quad a(x^{2}-3y^{4})=2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})}{x^{2}-3y^{4}} \end{align}
\begin{equation} f(x,y)=\left\{\begin{matrix} x\sin^{2}(x) & (x,y)\neq(0,0)\\ 0 & (x ,y)=(0,0) \end{matrix}\right. \end{gleichung}
\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) \end{equation}
Daraus folgt das$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$und$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$hat kontinuierliche durch$(0,0)$j$f$ist differenzierbar durch$(0,0).$
Sind meine Argumente richtig? Jeder Vorschlag ist willkommen.
Antworten
Wir haben das
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^{2}}}{h} =\lim_{h\to 0}\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^3}=1$$
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{\dfrac{0}{2k^{2}+3k^4}}{k} =0$$
dann müssen wir das per definitionem überprüfen
$$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}}{h^{2}+2k^{2}+3k^{4}}-h}{\sqrt{h^2+k^2}} =\lim_{(h,k)\to (0,0)} \dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
was in der Tat durch wahr ist$a=2$
$$\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=\dfrac{h(h^2+O(h^4))+2hk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=$$
$$=\dfrac{-3hk^4+O(h^5)}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}$$
Verwenden Sie dann Polarkoordinaten.
Ein etwas anderer Ansatz:
Um differenzierbar zu sein, muss eine Funktion stetig sein und eine stetige Ableitung haben (oder eine Ableitung mit einer wesentlichen Singularität haben). Kontinuität erfordert, dass die Grenze, wenn Sie sich dem Punkt nähern, dieselbe ist, unabhängig von der Richtung Ihrer Annäherung.
Angenommen, wir nähern uns entlang der Linie$x=y=\epsilon$. Dann haben wir (mit der Tatsache, dass$\frac{d}{da}\sin^2(a)=\sin(2a)$:$$g(\epsilon)=f(\epsilon,\epsilon) = \frac{\epsilon\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{3\epsilon+3\epsilon^3}=\frac{1}{3}\frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{\epsilon+\epsilon^3}$$ $$g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\frac{(\epsilon+\epsilon^3)(\sin(2\epsilon)+2a\epsilon)-(\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2)(1+3\epsilon^2)}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6}$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{\sin(2\epsilon)+2\epsilon\cos(2\epsilon)+4a\epsilon+3\epsilon^2\sin(2\epsilon)+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-\sin(2\epsilon)-2a\epsilon-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-3\epsilon^2\sin(2\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\epsilon\cos(2\epsilon)+2a\epsilon+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\cos(2\epsilon)+2a+2\epsilon^2\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^2-6\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^3}{2+8\epsilon^2+6\epsilon^4} = \frac{1}{3} \frac{2+2a}{2} = \frac{1+a}{3}$$
Angenommen, wir nähern uns entlang der Linie$-x=y=\epsilon$. Dann haben wir:$$h(\epsilon)=f(-\epsilon,\epsilon) = \frac{-\epsilon\sin^2(-\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{-\epsilon\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4}= -g(\epsilon)$$ $$h'(\epsilon)=-g'(\epsilon)$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}h'(\epsilon)=-\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=-\frac{1+a}{3}$$
In beiden Richtungen existiert der Grenzwert der Ableitung, und da die Annäherungsrichtung keine Rolle spielt, fordern wir, dass die Grenzwerte gleich sind.$\frac{1+a}{3}=-\frac{1+a}{3}$, was bedeutet, dass$a=-1$.