Fibrant Replacement Functor: seine Wirkung auf Morphismen

Question

Ich lese das Folgende in Modellkategorien von Hovey.

Und bevor wir weitermachen, hier ist die Definition der Modellkategorie, mit der ich arbeite:

Aus dem Lesen der Antwort von Fibrant Replacement Functor weiß ich wie$Q$wirkt auf Objekte, aber ich bin mir immer noch nicht sicher, wie es auf Morphismus wirkt.

Meine Vermutung wäre folgende.

Lassen Sie uns bezeichnen$\phi$als Ausgangsobjekt. Ich möchte wissen, was ist$Q(f \colon X \rightarrow Y)$.

Betrachten Sie die Faktorisierung von$i_1 \colon \phi \rightarrow Y$von$i_1 = \beta(g) \alpha(g)$und die Faktorisierung von$i_2 \colon \phi \rightarrow X$von$i_2 = \beta(h) \alpha(h)$, wo$\alpha(g) \colon \phi \rightarrow QY$und$\alpha(h) \colon \phi \rightarrow QX$.

Wir können das folgende Kommutativquadrat betrachten.

$\alpha(h)$eine Kofibrierung ist, und$\beta(g)$ist eine triviale Fibration, also gibt es einen Auftrieb$k \colon QX \rightarrow QY$.

Nun, ich möchte sagen$Qf = k$, aber dieser Lift ist möglicherweise nicht eindeutig, daher stellt dies ein Problem dar.

Jede Hilfe wäre willkommen, danke!

Answer 1

Sie haben "Fibrantenersatzfunktor" geschrieben, aber die Notation verwendet$Q$, was die Notation für den Kofibranten-Ersatzfunktor ist. Ich ging mit dem Fibrant, aber natürlich für$Q$, die Geschichte ist vollständig dual.

Gut, wenn$f: X\to Y$, haben Sie einen Morphismus von Morphismen:

$\require{AMScd}\begin{CD} X @>>> Y \\ @VpVV @VqVV \\ *@>>> *\end{CD}$

und seit$(\gamma,\delta)$nach Annahme eine funktoriale Faktorisierung ist, erhalten Sie eine Abbildung$\gamma(p)\to \gamma(q)$, also ein kommutatives Quadrat:

$\begin{CD}X @>>> Y \\ @V\gamma(p)VV @V\gamma(q)VV \\ R(X) @>>> R(Y)\end{CD}$

mit$R(X) \to R(Y)$wird als Teil der Daten von angegeben$\gamma((f,id_*))$(Beachten Sie, dass in$\gamma(p)$, wir sehen$p$als Objekt der Pfeilkategorie, während in$\gamma((f,id_*))$,$(f,id_*)$ist ein Pfeil in der Kategorie Pfeil)

Die Tatsache, dass diese Karte$R(f): R(X)\to R(Y)$macht$R$in einen Funktor folgt daraus, dass$\gamma$ein Funktor ist und das$(g,id_*)\circ (f,id_*)= (g\circ f,id_*)$