Finden Sie das globale Maximum / Minimum über einen rechteckigen Bereich

Question

Finden Sie alle globalen Maximal- / Minimalpunkte dieser Funktion:

$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
In einem Rechteck mit Eckpunkten:

$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$

Ich habe versucht, dieses Rechteck zu zeichnen, und ich habe es bekommen:

$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$

Ich habe die partiellen Ableitungen berechnet:

$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$

Und so habe ich verstanden, dass der einzige Punkt ist $(3,4)$

Was ist nicht auf dem Rechteck ... also gibt es keine globalen Max / Min-Punkte? Ich halte dies für einen falschen Ansatz, ich würde mich über Ihre Hilfe freuen!

Vielen Dank!

Answer 1

Punkte finden wo $f_x = 0$ und $f_y = 0$gibt Ihnen alle lokalen Extrema im Inneren der Region$[-2, 3] \times [-1, 1]$dh das offene Rechteck $(-2, 3) \times (-1, 1)$. Was Sie gezeigt haben, ist, dass es im Inneren keine lokalen Extrema gibt. Es kann jedoch immer noch Maxima / Minima an der Grenze des Rechtecks ​​geben. (In der Tat, weil$[-2, 3] \times [-1, 1]$ ist kompakt, Analyse sagt uns, dass wir ein globales Maximum und Minimum finden können.)

Um diese globalen Maxima und Minima zu finden, müssen Sie sich die Werte ansehen $f$ nimmt die Grenze des Rechtecks ​​an $[-2, 3] \times [-1, 1]$. Wann ist es am kleinsten / größten?

Zum Beispiel könnten wir zuerst den unteren Rand des Rechtecks ​​betrachten. Dies ist die Menge der Punkte$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. Auf dieser Region unsere Funktion$f$ übernimmt die Werte

$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$

schon seit $y$ ist immer $-1$am unteren Rand des Rechtecks. Von hier aus können Sie die Einzelvariablenrechnung verwenden, um die Werte von zu berechnen$x$ im $[-2, 3]$ für welche $f$ ist minimal / maximal.

Dann machen Sie dasselbe für die anderen Seiten.

(Bearbeiten: So wie Sie die Kanten des Rechtecks ​​zusätzlich zu seinem Inneren überprüfen müssen, müssen Sie die "Kanten" der Seiten (dh der vier Ecken) zusätzlich zu den Seiten selbst überprüfen! Mit anderen Worten, don ' t Vergessen Sie nicht, ob an jeder der vier Ecken f berechnet werden soll, und prüfen Sie, ob es einen Extrempunkt gibt.)

Answer 2

Die Tatsache, dass sich der gefundene Punkt nicht im Rechteck befindet, bedeutet, dass sich bei Betrachtung der Gesamtfunktion der maximale / minimale Punkt nicht im Rechteck befindet. Wir betrachten jedoch nur einen kleinen Bereich der Funktion - den, der durch das Rechteck begrenzt ist.

Wenn Sie sich das Diagramm einer Funktion vorstellen können, die von diesem Rechteck begrenzt wird, werden Sie feststellen, dass es irgendwo im Rand ein Maximum und ein Minimum gibt. In der Einzelvariablenrechnung wird dies durch den Extremwertsatz erklärt.

Sie sollten also die Maximal- und Minimalpunkte der vier Linien finden, die sich aus dem Schnittpunkt der Funktion und den Ebenen y = 1, y = -1, x = -2 und x = 3 ergeben. Diese Ebenen sind die Erweiterung von die Seiten des Rechtecks.

Sollten Sie weitere Fragen haben, helfe ich Ihnen gerne weiter.

Answer 3

Sie befinden sich im klassischen Fall, in dem sich die Extrema an der Grenze befinden. Daher ist es in der Tat nicht sinnvoll, partielle Ableitungen zu vernichten.

Denken Sie geometrisch: Ihr Problem befasst sich mit dem Schnittpunkt eines Paraboloids $P$ dessen Spitze ist in $(3,4,100)$ und Achse definiert durch $x=3,y=4$ und eine Box $B$ deren Schnittpunkt mit der Oxy-Ebene ist der, den Sie gefunden haben.

Bemerkung: Die Kreuzung $I=B \cap P$ ist eine Vereinigung von Parabelbögen.

• Der tiefste Punkt von I liegt entlang der vertikalen Achse $(x=3, y=1)$(welches der P-Achse am nächsten liegt). Stecken Sie diese Werte in die Gleichung, um zu erhalten$z_{min}=109$.

• Der höchste Punkt von I wird am vertikalen Rand des Kastens erhalten, der am weitesten von der P-Achse entfernt ist, dh mit Koordinaten $(x=-2,y=-1)$. Fügen Sie diese Werte erneut in die Gleichung ein, um sie zu erhalten$z_{max}=150$.