Finden Sie Grenzen von 2 Sequenzen

Question

Ich habe 2 Sequenzen, deren Grenze ich finden muss. Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig genug bewiesen habe oder ob es einen besseren Weg gibt, dies zu tun.

(ein) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}$

(b) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n}$ , zum $a,b \gt 0$

Also für (a) habe ich das seitdem $(-1)^n$begrenzt ist, ist es für große n irrelevant. Auch (ich kenne den richtigen Begriff dafür nicht) da$n^2$ ist dominant im Vergleich zu $n$für sehr große $n$ist die Grenze grundsätzlich $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2}{5n^2}$ $= 1/5$.

Ich weiß nicht, wie ich das richtig schreiben soll, da dies recht informell und nicht bewiesen erscheint.

für (b) bin ich mir nicht ganz sicher. Zuerst habe ich versucht, etwas herauszufiltern, bin aber nicht weit gekommen. Jetzt habe ich verwendet$c$ $=$ $a^n+2b^n$. Das führt zu$\frac{c}{3c-b^n}$. Aber da stecke ich fest. Wie gehe ich vor?

Answer 1

Für den ersten, der formalisiert, verwenden Sie das

$$\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}=\frac{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}{5+\frac3n+\frac1{n^2}}$$

für den zweiten haben wir

$$\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n} =\frac{\left(\frac ab\right)^n+2}{3\left(\frac ab\right)^n+5}$$

dann betrachten Sie die Fälle $a>b$, $a=b$ und $a<b$.

Answer 2

Hinweis: Um Ihre Antwort für a) zu rechtfertigen, teilen Sie alle Begriffe durch $n^{2}$ und das Limit nehmen.

Wenn $a>b$ Teilen Sie alle Begriffe durch $a^{n}$. Sie sehen, dass das Limit ist$\frac 1 3$ (schon seit $(\frac b a)^{n} \to 0$). Wenn$a<b$ Teilen durch $b^{n}$ um zu sehen, dass die Grenze ist $\frac 2 5$. Wenn$a=b$ dann ist die Grenze $\frac {1+2} {3+5}$.