Forward Rate ableiten

Question

Ich möchte eine 1-jährige Zukunft unter der Bedingung ohne Arbitrage und basierend auf LOOP bewerten. Zum Zeitpunkt T verkaufe ich die Währung Z und kaufe die Währung L. Zum Zeitpunkt$t$definieren wir den Wechselkurs als $ZL_t$. Die risikofreien 1-Jahres-Zinssätze werden jährlich berechnet$(1+i_t^{Z})$ und $(1+_t^{L})$beziehungsweise. Wir wollen nicht rechtzeitig Geld tauschen$t$ Wir müssen uns also auf den Wert einigen $K_t$;; Eine andere Bedingung ist, dass wir berechnen müssen$K_t$ so dass die Zukunft gleich 0 ist $t$.

Jetzt hatte ich einige Kurse, in denen wir hauptsächlich Aktien als Beispiel verwendeten und dann die Bedingung erfüllen müssen $K_t = S_te^{r(T-t)}$. Ich bin jedoch verwirrt, wie ich ableiten soll$ZL_t$unter den oben genannten Bedingungen, da dies ein Wechselkurs ist und ich ein bisschen Schwierigkeiten habe, meinen Kopf darum zu wickeln. Also treten wir grundsätzlich ein$F = ZL_t \frac{(1+i_t^{L})}{(1+i_t^{Z})}$

Answer 1

Für ein bisschen mehr Klarheit werde ich ersetzen $ZL_t$ mit $X_t^{ZL}=X_t$ mit der Bedeutung: zur Zeit $t$, $1$ Währungseinheit $Z$ (Asset, Foreign, OverZee) kann mit gekauft werden $X_t$ Währungseinheiten $L$ (Numeraire, Inland, Lokal).

Wenn $$ K < X_{t_0}(1+ i^L)(1+i^Z)^{-1}, $$

dann zur Zeit $t_0$, man kann

• Gehen Sie lange den Terminkontrakt , der es einem ermöglicht, zu kaufen$1+i^{Z}$ Einheiten von $Z$ Währung bei $K$ Wechselkurs zur Zeit $T$ (ein Jahr ab $t_0$ Formeln sauberer zu halten),
• leihen $1$ Einheit von $Z$ Währung bei $i^Z$Zinssatz und konvertieren Sie es in$L$ Währung und
• leihen die$X_{t_0}$ Einheiten von $L$ Währung aus Umrechnung erhalten bei $i^L$ Zinsrate.

Beim $t_0$ist der Wert dieses Portfolios $0$, aber zur Zeit $T$ sein Wert (in Währung $L$)

$$ (1+i^Z)\cdot (X_T -K) -(1+i^Z)\cdot X_T + (1+i^L)\cdot X_{t_0} $$ $$ = -(1+i^Z)K + X_{t_0} (1+i^L) $$ ist streng positiv.

Die umgekehrte Ungleichung kann auch nicht aufgrund der Spiegelung von Arbitrage-Argumenten gelten.