Fourier-Transformation einer Potenzgesetzverteilung
Zu Anwendungszwecken möchte ich die Fourier-Transformation einer Potenzgesetzverteilung berechnen. $$f(t) = b a^b (a + t)^{-b-1}, \qquad a, b, t > 0,$$ Welches ist das Integral gegeben durch \begin{align} \tilde f(\xi) &= b a^b \int_0^{+\infty} (a+t)^{-b-1} e^{-i \xi t} \mathrm{d}t\\ &= b e^{i \xi a} \int_1^{+\infty} u^{-b-1}e^{-i \xi a u} \mathrm{d}u. \end{align} Beachten Sie, dass die Fourier-Transformation am berechnet wird $[0, +\infty]$ speziell als $f(t) = 0$ für alle $t < 0$.
Dieses Problem kann darauf reduziert werden, eine gute Annäherung für die unvollständige Gammafunktion mit rein imaginären Argumenten zu finden (siehe unten): $$\Gamma(\nu, ix) = \int_1^{+\infty} t^{\nu - 1} e^{-i x t} \mathrm{d}t,\qquad 0 < \nu < 1.$$
Ich suche also entweder eine explizite Formulierung oder eine Annäherung für die Fourier-Transformation der Potenzgesetzverteilung oder für die unvollständige Gammafunktion mit rein imaginären Argumenten. Idealerweise möchte ich, dass diese Fourier-Transformation in C ++ einfach zu berechnen ist, da es sich um die Programmiersprache handelt, die ich derzeit für ein von mir entwickeltes Statistikpaket verwende (daher ist jede Antwort mit vorhandenen C ++ - Bibliotheken willkommen!).
Was ich bisher erreicht habe: wann$b$ ist eine ganze Zahl, bei der aufeinanderfolgende Integrationen teilweise verwendet werden. $$\tilde f(\xi) = 1 + \sum_{k=1}^{b-1} \frac{(-i \xi a)^k}{(b-1)\cdots(b-k)} + \frac{(-i \xi a)^b}{(b-1)!} e^{i \xi a} E_1(i \xi a),\tag{1}\label{eq1}$$ wo $E_1(z)$ bezeichnet das Exponentialintegral $$E_1(z) = \int_1^{+\infty} t^{-1}e^{- tz} \mathrm{d}t.$$ Es stellt sich heraus, dass das Exponentialintegral mit rein imaginären Argumenten mit den trigonometrischen Integralen in Beziehung gesetzt werden kann $\mathrm{Si}$ und $\mathrm{Ci}$ durch die Beziehung (https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral): $$E_1(ix) = i \left[ -\frac{1}{2} \pi + \mathrm{Si}(x) \right] - \mathrm{Ci}(x), \qquad x > 0,$$ und das $\mathrm{Si}$ und $\mathrm{Ci}$haben leicht verfügbare Padé-Approximanten ( dh können durch rationale Funktionen approximiert werden), die genau sind$10^{-16}$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral). Diese Schritte ermöglichen eine schnelle Berechnung der Fourier-Transformation der Potenzgesetzverteilung, vorausgesetzt, dass$b$ ist eine ganze Zahl.
Womit ich zu kämpfen habe: wann$b$ ist keine ganze Zahl, mit ähnlichen aufeinanderfolgenden Integrationen von Teilen als zuvor, mit denen ich am Ende ende $\Gamma(b - \lfloor b \rfloor, i \xi a)$ Anstatt von $E_1(i \xi a)$ in \ eqref {eq1}, wo $\Gamma(\nu, z)$ ist die unvollständige Gammafunktion: $$\Gamma(\nu, z) = \int_1^{+\infty} t^{\nu - 1} e^{-z t} \mathrm{d}t,\qquad 0 < \nu < 1.$$ Ich habe jedoch keine explizite Methode gefunden, um eine gute Annäherung der unvollständigen Gammafunktion für zu berechnen $z$ rein imaginär: Die C ++ - Bibliotheken, die ich gefunden habe, funktionieren nur für echte Argumente, und ich konnte keine guten Annäherungen finden, wie ich sie für das Exponentialintegral gemacht habe.
Ein anderer Stapelaustauschpfosten ( Berechnen der Fourier-Transformation des Potenzgesetzes ) hat dieses Problem bereits diskutiert, jedoch mit einem symmetrischen Potenzgesetz; Ich vermute, dass die Symmetrie in diesem Fall die Auflösung erleichtert.
Mit dem Residuensatz habe ich versucht, etwas zu erzählen $\Gamma(\nu, ix)$ zu $\Gamma(\nu, x)$, aber dies lässt mich mit einem unlösbaren Integral entlang eines Viertelkreises zwischen der realen und der imaginären Achse zurück; etwas in der Richtung von$$\int_0^{\pi/2} e^{i\theta \nu} e^{-\cos \theta - i \sin \theta} \mathrm{d}\theta.$$
Schlussgedanken: Da die Potenzgesetzverteilung eine häufig zu untersuchende Funktion ist, bin ich überrascht, dass ich keine explizite Formulierung oder zumindest keine Approximationsmethode für ihre Fourier-Transformation finden konnte. Ich bin sicher, dass ich eine wegweisende Arbeit zu diesem Thema verpasst habe, und wenn es tatsächlich eine gibt, wäre ich dankbar, wenn Sie mich darauf hinweisen könnten.
Antworten
Es ist eine seltsame Sache, eine Fourier-Transformation durchzuführen, da sie nicht wirklich periodisch ist. Aber vielleicht ist es eine charakteristische Funktion oder ähnliches.
Der Mathematica-Befehl FourierTransform[b a^b (a+t)^(-b-1),t,x]gibt die Ausgabe aus$$ \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} b \left(-\frac{1}{a}\right)^{-b} \csc (\pi b) | x| ^{b-1} }{\Gamma (b+1)} \left(\left(-\frac{1}{a}\right)^b a^b \left(-| x| \cos \left(a | x| +\frac{\pi b}{2}\right)+i x \sin \left(a | x| +\frac{\pi b}{2}\right)\right)+i x \sin \left(\frac{\pi b}{2}-a | x| \right)+| x| \cos \left(\frac{\pi b}{2}-a | x| \right)\right) $$ das scheint aus Standardbibliotheksfunktionen zusammengesetzt zu sein.
Dies vereinfacht sich bis auf $$ \frac{i \sqrt{\frac{\pi }{2}} a^b (x-| x| ) | x| ^{b-1} e^{i a | x| -\frac{i \pi b}{2}}}{\Gamma (b)} $$ mit $a,b>0$. Lassen Sie mich wissen, ob dies nicht nützlich ist oder nicht, wonach Sie gesucht haben.