Frage zu Asymptoten.

Question

Lassen $f(x) = 3\cdot\frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2}.$ Geben Sie ein Polynom an $g(x)$ so dass $f(x) + g(x)$ hat eine horizontale Asymptote von $0$ wie $x$ nähert sich der positiven Unendlichkeit.

Ich habe versucht, das zu verwenden, wenn der Grad des Nenners größer als der Grad des Zählers ist, ist die horizontale Asymptote $y = 0$, aber ich konnte nirgendwo hinkommen. Wie soll ich das lösen?

Answer 1

Führen Sie die euklidische Division des Zählers durch den Nenner durch: $$x^4+x^3+x^2+1=(x^2+3)(x^2+x-2) -3x+7. $$ Wir schließen daraus $$f(x)=3(x^2+3)+3\frac{-3x+7}{x^2+x-2}.$$ Die Fraktion neigt dazu $0$ wie $x\to\infty$, daher können wir nehmen $\:g(x)=-3(x^2+3)$.

Answer 2

Die beste Antwort ist, dass Sie nach einer Polynom-Long-Division erhalten $f(x)=3x^2+9+\frac{-9x+21}{x^2+x-2}$. Beachten Sie, dass der dritte Term Ihre Anforderung der horizontalen Asymptote von erfüllt$0$und so lässt du $g(x)$ den linken Teil aufheben, also $g(x)=-3x^2-9$.

Graph: https://www.desmos.com/calculator/6ynoxvdfpe