Garben eines Unterblatts
Lassen $\mathscr{F}$ sei ein Unterblatt einer Garbe $\mathscr{H}$. Wenn ich es richtig verstanden habe, hat die Garbe in diesem Fall eine besonders einfache Form. Es ist die Garbe, die durch definiert ist$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ wo wir das sagen $s\in \mathscr{H}(U)$ lokal liegt in $\mathscr{F}$ Gibt es eine offene Abdeckung? $\{U_i\}$ von $U$ so dass $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ für jeden $i$.
Es ist klar, dass dies tatsächlich eine Garbe ist, aber ich kann nicht sehen, wie es die universelle Eigenschaft der Garbe erfüllt.
Ich habe darüber nachgedacht: Ich denke wirklich, dass diese Konstruktion funktoriell ist $\mathscr{F}$. Angenommen, angesichts eines Morphismus$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ wir sollten einen induzierten Morphismus haben $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ was mit unserem ursprünglichen Morphismus übereinstimmt, wenn wir uns auf beschränken $\mathscr{F}$. Wenn$\mathscr{G}$ ist eine Garbe, $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$und so ergibt sich unser gewünschter Morphismus. Aber ich kann nicht wirklich verstehen, warum diese Konstruktion funktoriell ist$\mathscr{F}$.
Antworten
Eine Garbe gegeben $\mathscr{G}$ und ein Morphismus von Presheaves $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$können Sie direkt einen Morphismus von Vorspannungen (und damit von Garben) konstruieren. $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ das erstreckt sich $f$. Gegeben einen Abschnitt$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$Wählen Sie eine offene Abdeckung $\{U_i\}$ von $U$ so dass die Einschränkungen $s\mid_{U_i}$ ausschlafen $\mathscr{F}$. Dann können Sie sich bewerben$f$ zu jeder dieser Einschränkungen, und kleben Sie ihre Bilder, um zu bekommen $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$. Es ist nicht schwer zu überprüfen, ob dies genau definiert ist, dh unabhängig von der offenen Abdeckung, und das tatsächlich$\widetilde{f}$ ist die einzigartige Erweiterung von $f$. Letzteres zeigt das$\widetilde{\mathscr{F}}$ ist eine Garbe.
In Bezug auf die von Ihnen erwähnte Funktionalität, da Ihre Definition die Wahl einer Garbe erfordert $\mathscr{H}$Ich bin mir nicht sicher, wie ich das verstehen soll (natürlich wissen Sie nach der Tatsache, dass die Garbenbildung durch das universelle Eigentum eine Funktion hat).
ich nehme an $\mathscr H$ ist ein Bündel abelscher Gruppen in einem topologischen Raum $X$.
Schon seit$\mathscr H$ ist eine Garbe, durch die universelle Eigenschaft der Garbe, den Morphismus der Vorgarben $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ Faktoren durch $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$. Um das zu sehen$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$ist ein Isomorphismus, reicht es aus, auf der Ebene der Stiele zu überprüfen.
Beachten Sie, dass wir auf der Ebene der Stiele für$x\in X$, der Grundraum, die Zusammensetzung $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$Das ist Identität. Außerdem,$j_x$ist ein Isomorphismus. Dies ergibt sich aus der Konstruktion der Garbe. So$\bar \iota_x$ ist ein Isomorphismus für jeden $x\in X$ und daher $\bar \iota $ ist ein Isomorphismus.
Hinweis: Die Standardkonstruktion von$\mathscr F^{sh}$ ist zu berücksichtigen $\mathscr F$ als Sub-Presheaf der Garbe von Stielen $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ und dann schauen $\tilde {\mathscr F}$ in dieser Garbe.