Gegenbeispiel zum Schur-Lemma

Question

Ich studiere grundlegende Darstellungstheorie mit GTM$42$, ein Problem auf Schur Lemma stoßen:

Schur Lemma . Gegeben$G$ eine Gruppe, $V$ ein Vektorraum auf $\mathbb C$ und eine irreduzible Darstellung $\rho : G \to Gl(V)$. Wenn eine lineare Karte$f : V \rightarrow V$ pendelt mit allen $\rho_g, g\in G$, dann $f=\lambda$ für einige $\lambda\in \mathbb C$.

Der Beweis dieses Lemmas hängt davon ab, dass $\mathbb C$ist algebraisch geschlossen. Jetzt werde ich gebeten, ein Gegenbeispiel für dieses Lemma zu geben, wenn$V$ ist an $\mathbb Q$ kann aber keine finden (nicht vertraut mit Untergruppen von $Gl(n,\mathbb Q)$). Außerdem frage ich mich, ob es ein Gegenbeispiel für ein Feld gibt, das nicht algebraisch geschlossen ist.

Jede Hilfe wird geschätzt.

Answer 1

Schurs Lemma beruht auf der Existenz ausreichender Eigenwerte. So nimm$f$keine Eigenwerte im Basisfeld zu haben. Betrachten Sie zum Beispiel die Drehung der rationalen Ebene$f = \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}$. Diese$f$ hat Bestellung 4, also nehme ich $G = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ mit $1\mapsto f$.

Jetzt $\mathbb{Q}^2$ ist eine irreduzible (weil jeder richtige invariante Unterraum eindimensional sein sollte) Darstellung von $G$ und $f\colon\mathbb{Q}^2\to\mathbb{Q}^2$ ist $G$-linear, ist aber keine skalare Multiplikation. Dies gibt übrigens auch ein Beispiel für eine irreduzible Darstellung einer abelschen Gruppe ohne Dimension 1. (Gleiches gilt für jedes Feld ohne Quadratwurzel von$-1$).