Gemeinsame Eigenvektoren von Hessisch

Question

Hinweis: Diese Frage ist noch unbeantwortet! (Ich werde eine Antwort geben, wenn ich alleine zu einer komme).

Hintergrund

Nehmen wir an, wir haben eine kontinuierliche, zweimal differenzierbare Funktion $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$. Wir wissen, dass diese Funktion eine symmetrische, positiv definierte hessische Matrix hat.$\nabla^2 f$. Dieser Hessische kann zerlegt werden als,

$$\nabla^2 f = R \Lambda R^T, $$

wo $\Lambda: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ ist eine diagonale Matrix von Eigenwerten und $R:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ist eine Matrix von Eigenvektoren. Beachten Sie das hier$\Lambda$ und $R$ sind selbst Funktionen der Argumente zu $f$.

Frage

Angesichts der Funktion $f$ hat einen Hessischen mit Zersetzung $R \Lambda R^T$Gibt es eine Möglichkeit, alle Funktionen zu berechnen? $g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ so dass, $$\nabla^2 g = R D R^T, $$ wo $D$ ist eine diagonale Matrix?

Aktualisierung:

• John lieferte eine Methode zum Rechnen $g$damit sein Hessisches an einem gewählten Punkt die richtige Zersetzung hat. Leider gilt dies nicht für alle$\mathbb{R}^n$.

Answer 1

Sicher: $$ g(v) = f(v) + v^t R(D - \Lambda)R^t v + h(v), $$ wo $h$ist eine beliebige Funktion mit$\nabla^2 h = 0$.

Ich gehe davon aus, dass Sie entweder meinen $\nabla^2f(0)$ ist $R\Lambda R^t$und einfach das Argument "0" weggelassen, oder Sie meinen für $R$ und $\Lambda$ durch das Argument zu parametrisiert werden $f$In diesem Fall wird meins das auch brauchen.