Genau eine Rechtsinverse impliziert Invertierbar?

Question

Ich weiß das, in einem Ring mit Identität$R$, Wenn$a$hat genau eine Rechtsinverse$b$, dann$a$ist invertierbar. In der Tat:

$$a(ba-1+b)=aba-a+ab=a-a+1=1,$$

so dass$ba-1+b=b$, daher$ba=1$.

Es gilt jedoch immer noch für jedes Monoid, dh wenn es sich um ein Monoid handelt$X$,$a$hat genau eine Rechtsinverse$b$, dann ist$a$umkehrbar?

Ob$X$endlich ist, dann ist die Antwort ja. In der Tat in einem endlichen Monoid$X$, Wenn$a$hat eine richtige Umkehrung$b$, dann$x\mapsto xa$ist eine injektive Funktion aus$X$zu sich selbst, also durch Endlichkeit von$X$die Funktion ist surjektiv, also gibt es a$c$so dass$ca=1$, deshalb$a$ist invertierbar.

Answer 1

Die Antwort ist "nein" für Monoide. Betrachten Sie das ( bizyklische ) Monoid$B$generiert durch 2 Funktionen$\mathbb{N}\to \mathbb{N}$. Die Funktion$p$ist die Verschiebung:$p(n)=n+1$. Die Funktion$q$ist die Pseudoinverse von$p$:$q(n)=n-1$Wenn$n>1$und$q(1)=1$. Dann$pq=1$($p$handelt zuerst) also$q$ist eine rechte Umkehrung von$p$. Daraus folgt unmittelbar, dass jedes Element aus$B$hat die Form$q^kp^m$für einige nicht negative ganze Zahlen$k,m$. Das impliziert das auch leicht$p$hat keine anderen Rechtsumkehrungen in$B$. Aber$p$hat seitdem keine Inverse$qp\ne 1$.