Genauigkeitsparameter einer Schätzung einer Bernoulli-Verteilung

Question

Sagen wir $X_i ∼ Bernoulli(p)$ zum $p \in (0,1)$. Wir können den Wert von bestimmen$p$ mit einer Nummer $t$ von iid Proben $X_1, ... , X_t ∼ Bernoulli(p)$. Folglich haben wir$\bar X=\tfrac {\sum_{i=1}^tX_t}t$.

Jetzt möchte ich die Genauigkeitsschwelle finden, $\alpha$, finden $t$ bezüglich $p$ und $\alpha$ so dass $$P[(1-\alpha)p \leq X \leq (1 + \alpha)p] > \frac{9}{10}$$ und $\alpha \in (0,1)$.

Ich habe keine Ahnung, wie ich damit anfangen soll. Ich verstehe, was dies bedeutet: Wie oft müssen wir eine Stichprobe machen (das ist der Parameter$t$), so dass wir bei der Schätzung eine Genauigkeit von mindestens 90% erhalten $p$ mit $X$ angesichts dessen $X$ kann um einen Schwellenwert von ungenau sein $\alpha$.

Ist dies die richtige Art, über dieses Problem nachzudenken? Wenn ja, wäre mein Ansatz, sagen wir mal$t=1$Was ist dann meine Genauigkeit? Wie ändert sich die Genauigkeit, wenn dieses Problem gelöst wird?$t$?

Also wann $t=1$, wir bekommen $\bar X = \frac{X_1}{1}$. Hier stecke ich fest. Wie kann ich einarbeiten$\alpha$ und berechnen $P(X)$?

Answer 1

Sie können die Hoeffdings-Ungleichung verwenden, die dies für jede angibt $\epsilon > 0$, $$ P\left( \left |\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - p \right| > \epsilon \right) \le 2 \exp (-2n\epsilon^2). $$ Dies impliziert das $$ P\left( \left |\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - p \right| \le \epsilon \right) \ge 1- 2 \exp (-2n\epsilon^2) =: 1-\delta. $$ Etwas anders ausgedrückt, wir haben mit Wahrscheinlichkeit $1-\delta$ Das $$ p-\epsilon \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \le p+\epsilon. $$ Beachten Sie jetzt das $$ \delta = 2 \exp (-2n\epsilon^2) \implies n = \frac{1}{2 \epsilon^2} \log (\frac{2}{\delta}), $$ Beachten Sie tatsächlich, dass diese Zahl möglicherweise keine Ganzzahl ist, also müssen wir nehmen $n=\lceil \frac{1}{2 \epsilon^2} \log (\frac{2}{\delta}) \rceil $ Also in deinem Fall, wenn wir nehmen $\delta =0.1$und geben Sie eine Toleranz von an $\epsilon =0.05$, dann $$ n=\lceil \frac{1}{2\times 0.05^2} \log (\frac{2}{0.1}) \rceil = \lceil 599.15\rceil = 600 $$ Die Stichprobengröße nimmt offensichtlich mit Ihrer Toleranz zu $\epsilon$ nimmt ab (es werden mehr Abtastwerte benötigt, um sicherzustellen, dass der Parameter in einem kleineren Intervall liegt.

Beachten Sie, dass Hoeffding schärfere Grenzen hat, dies sollte jedoch ein guter Anfang für Ihre Analyse sein