Gibt es ein „Gewissheitsprinzip“?
Heisenbergs Unschärferelation ist eine Einschränkung, welche Wahrscheinlichkeitsverteilungen die Position und den Impuls eines Quantenteilchens beschreiben können.
Mathematisch ausgedrückt heißt das, wenn$\psi\in L^2$ist normalisiert, und wir definieren$f,g\in L^1$von$f(x)=|\psi(x)|^2$und$g(k)=|\hat\psi(k)|^2$dann haben wir$$V(f)V(g)\geq\frac14$$wo$V$ist die Varianz der Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der gegebenen Dichtefunktion.
Es gibt verschiedene andere Unsicherheitsprinzipien, darunter das entropische Unsicherheitsprinzip und das Hardysche Unsicherheitsprinzip . Definieren$f,g\in L^1$kompatibel sein , falls vorhanden$\psi\in L^2$so dass$f(x)=|\psi(x)|^2$und$g(k)=|\hat{\psi}(k)|^2$. Dann gibt jede Unschärferelation eine Bedingung an, die kompatibel ist$f$und$g$Muss gehorchen.
Mir ist eine merkwürdige Tatsache aufgefallen, die für alles gilt, was ich in der Literatur finden konnte, die sich selbst als „Unschärfeprinzip“ bezeichnet. Für fest$f$die Beschränkung auf$g$ist immer eine konvexe Menge. Zum Beispiel der Satz von$g$befriedigend$V(g)\geq\frac1{4V(f)}$ist konvex, weil die Varianz eine konkave Funktion im Raum der Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist.
Dies macht Sinn mit dem Namen 'Unsicherheitsprinzip'. Intuitiv kann das Mischen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen kein Ergebnis liefern, das „sicherer“ ist als alle anderen.
Als ich jedoch mit der diskreten Fourier-Transformation als Spielzeugmodell spielte, bemerkte ich, dass der Satz von$g$kompatibel mit einem gegebenen$f$muss nicht konvex sein.
Zufällig abgetastet$g$kompatibel mit$f = (0.46,0.46,0.08)$und$f = (0.46,0.46,0.07,0.01)$:
Beachten Sie, dass diese Mengen nicht konvex sind und nicht einmal die maximal unsichere Gleichverteilung (den Mittelpunkt des Simplex möglicher Verteilungen) enthalten. Die Unsicherheit der Verteilungen in diesen Mengen ist also sowohl nach oben als auch nach unten begrenzt.
Bei Ausschüttungen auf$\mathbb R$, können wir überhaupt eine finden$f$für die wir die Menge der Kompatibilität beweisen können$g$ist nicht konvex?
Gibt es ein 'Sicherheitsprinzip', das z$f$setzt innerhalb einer Klasse eine Obergrenze für die Varianz oder Entropie von kompatibel$g$?
Antworten
Auf Wunsch füge ich als Antwort einen Kommentar mit einigen zusätzlichen Details hinzu; aber was ich meinte ist eigentlich ganz einfach. Die einfachste Realisierung ist wie folgt: take any$\psi\in L^2$. Teilen Sie seinen Träger in endlich viele Teile auf, um eine Darstellung zu erhalten$\psi=\sum_{k= 0}^N\psi_k$wo$\psi_0$ist klein drin$L^2$(der unendliche Schwanz) und$\psi_k$zum$k>0$sind klein (weniger als$\varepsilon$) in$L^1$(kurze Intervalle). Jetzt jeweils multiplizieren$\psi_k$mit$k>0$von$e^{2\pi i Mkx}$mit$M$so gewählt$\sup_{\lvert y\rvert>M,1\le k\le N}\lvert\widehat\psi_k(y)\rvert\le \frac{\varepsilon}N$(es existiert von Riemann-Lebesgue). Dann die Fourier-Transformation der resultierenden Funktion an jedem Punkt$y$wird begrenzt durch$\lvert\widehat\psi_0(y)\rvert+3\varepsilon$. Der erste Teil beeinflusst nichts, weil es$L^2$-norm ist klein und der Rest ist gleichmäßig klein und daher breit gestreut.
Ob$\psi\in L^1\cap L^2$, dann keine Sonderbehandlung von$\psi_0$wird gebraucht. Außerdem können Sie die wahre gleichmäßige Kleinheit erhalten, indem Sie in abzählbar viele Teile aufteilen und die Phasenverschiebungen induktiv wählen, anstatt nur eine arithmetische Progression zu verwenden. Und so weiter und so fort.
Bearbeiten: Jetzt über Konvexität. Nehmen$f$die charakteristische Funktion auf sein$[0,1]$und bedenke$g(k)$wo$k\in\mathbb Z$(in diesem Fall sind die Punktwerte stetige Funktionale). Klar, jede Sequenz mit allen Nullen und Einsen$1$ist zulässig ($\psi(x)=e^{2\pi ik_0x}$An$[0,1]$). Hätte also die Konvexität gewahrt, wären wir in der Lage, eine Funktion weiter zu konstruieren$[0,1]$das ist identisch$1$(oder zumindest so nah daran, wie wir möchten) so dass$g(0)=g(1)=\frac 12$und alle anderen$g(k)=0$. Das wäre aber nur ein zweigliedriges Polynom mit gleichen Koeffizienten, also würde es im Absolutwert ziemlich stark schwanken$[0,1]$. Dies beweist zumindest, dass Konvexität manchmal nicht gilt. Ich vermute, dass dieser Trick ziemlich verallgemeinert werden kann, aber die Details sind noch schwer fassbar.
Mit$D_x=\frac{d}{i dx}$, lässt sich aus der Gleichheit die Heisenbergsche Unschärferelation in ihrer klassischsten Form ableiten$$ 2\Re \langle \hbar D_x u, ix u \rangle_{L^2(\mathbb R)}= \langle \bigl[\hbar D_x, ix\bigr] u, u \rangle_{L^2(\mathbb R)}=\hbar\Vert u\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2, $$was impliziert$ \Vert \hbar D_x u\Vert_{L^2(\mathbb R)}\Vert xu\Vert_{L^2(\mathbb R)}\ge \frac\hbar 2\Vert u\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2, $wo die Konstante$\hbar/2$kann durch Testen einer Gaußschen Funktion als scharf nachgewiesen werden. Soviel zur Untergrenze. Vielleicht würde ein "Sicherheitsprinzip" bedeuten, dass wir uns mit der Obergrenze (?) beschäftigen wollen, die wir haben$$ \Vert \hbar D_x u\Vert_{L^2(\mathbb R)}\Vert xu\Vert_{L^2(\mathbb R)}\ge \Re \langle \hbar D_x u, ix u \rangle_{L^2(\mathbb R)}= \frac\hbar 2\Vert u\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2, $$aber es ist wahr, dass die linke Seite viel größer sein könnte als die rechte: Nehmen Sie zum Beispiel mit$\omega$glatt, wertgeschätzt$[0,1]$, gleich 1 für$\vert x\vert\ge 2$, auf 0 an$\vert x\vert\le 1$,$\lambda \ge 1$,$$ u_\lambda(x)=(x^2+1)^{-1/2}\omega(x/\lambda),\quad \Vert u_\lambda\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2 \le π, $$ $$ u'_\lambda(x)=-\underbrace{x(x^2+1)^{-3/2}\omega(x/\lambda)}_{\text{bounded in $L^2$}}+\underbrace{\frac1\lambda \omega'(x/\lambda) (x^2+1)^{-1/2}}_{\substack{ \text{with limit $0$ in $L^2$}\\\text{since $\Omega'$ has support $[\lambda, 2\lambda]$} }}, $$ $$ x u_\lambda(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \omega(x/\lambda),\quad \Vert xu_\lambda(x)\Vert_{L^2(\mathbb R)}={+\infty}. $$Folglich ist die Obergrenze$+\infty$.
Sie könnten die von Neumann-Koopman-Mechanik von Interesse finden. Hier wird die klassische Mechanik in der gleichen Formensprache von Diracs Transformationstheorie formuliert, die sowohl die Wellenmechanik von Schrödinger als auch die Matrixmechanik von Heisenberg abgelöst hat.
Observable werden wie in der Quantenmechanik durch selbstadjungierte Operatoren auf dem Hilbert-Raum von KvN-Wellenfunktionen dargestellt. Anders als in der Quantenmechanik kommutieren diese Operatoren jedoch und sind somit gleichzeitig messbar. Das bedeutet, dass das Heisenbergsche Unbestimmtheitsprinzip verschwindet und durch die üblichen deterministischen Gesetze der klassischen Newtonschen Mechanik ersetzt wird – auch bekannt als „Gewissheitsprinzip“.