Gitter über Modulen

Question

Die Standardkonstruktion von Gittern in $\mathbb{R}^n$ kann verallgemeinert werden, indem ein beliebiger endlicher Vektorraum genommen wird $V$ über ein Feld $F$ und ein Unterring $R$ von $F$, gemäß Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).

Gibt es einen Grund, warum hier nur endlich dimensionale Vektorräume berücksichtigt werden und keine freien Module mit endlichem Rang? Das Gitter sollte immer noch eine additive Untergruppe bilden, und ich denke, die Eigenschaft für Basen, isomorphe Gitter zu ergeben, sollte auch immer noch dieselbe sein. Gibt es eine wichtige Eigenschaft, die bei dieser weiteren Verallgemeinerung verloren geht, die mir fehlt?

Answer 1

Eine wichtige Eigenschaft der Gittertheorie ist das innere Produkt, aus dem Sie erhalten $\mathbb{R}^n$sowie verwandte Objekte wie das Volume.

Viele der interessanten und nützlichen Theoreme stammen aus der Wechselwirkung zwischen algebraischen und geometrischen Strukturen, z. B. dem Minkowski-Theorem und seiner Anwendung auf die Geometrie von Zahlen. Die Geometrie ist auch wichtig für ihre Anwendungen in der Kryptographie , da man eine Norm braucht, um über Dinge wie das kürzeste Vektorproblem zu sprechen.

Eine äquivalente Definition für Gitter besteht darin, sie als frei zu definieren $\mathbb{Z}$Modul mit einer quadratischen Form ausgestattet. Die folgende Verallgemeinerung erscheint auf Seite 3 von Ebelings "Gitter und Codes".

Definition: Let$R$sei ein kommutativer Ring mit Einheit. Ein symmetrisches bilineares Formmodul$(S,b)$ Über $R$ ist ein Paar bestehend aus einem freien $R$-Modul $S$ von Rang $n$und eine symmetrische bilineare Form $b : S \times S \to R$.

Satz 1.1 (Ebeling) Die Integralgitter in$\mathbb{R}^n$ (Gitter, bei denen jedes Punktprodukt eine ganze Zahl ist) sind die symmetrischen bilinearen Formmodule über den ganzen Zahlen, bei denen $b$ ist eine positive definitive symmetrische bilineare Form.

Der Text erwähnt, dass symmetrische bilineare Formmodule über $\mathbb{Z}$ ohne die positiv-definitive Eigenschaft werden in Kapitel 4 untersucht, und Beispiele über Ringe von ganzen Zahlen werden in Kapitel 5 untersucht. Sie können sie interessant finden, um sie zu lesen.