Grenzwerte bewerten; direkte Substitution auf einmal oder nacheinander?

Question

Ist es bei der Bewertung von Grenzwerten durch direkte Substitution erforderlich, allen Variablen gleichzeitig den Grenzwert zuzuweisen, oder ist es in Ordnung, kleinere Ausdrücke in der Gesamtfunktion zu vereinfachen, indem die Variable einzeln durch den Wert ersetzt wird?

Für ein (unpraktisches) Beispiel: $\frac{(e^{(x+2)ln4})^\frac{\lfloor x+1\rfloor}{4}-16}{4^x - 16}$. Dies ist der Ausdruck, wenn sich die Funktion von links 2 nähert. Wenn Sie es vereinfachen, erhalten Sie$\frac{2^{\frac{\lfloor x+1 \rfloor (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16}$. Eine Lösung aus dem Internet hat das kaputt gemacht$\lfloor x+1\rfloor$ in 2, aber alles andere gleich gehalten.

Wie läuft das ab?

Answer 1

Dies ist auf eine Eigenschaft der Bodenfunktion zurückzuführen. Beachten Sie, dass für$x \in [1,2)$, $\lfloor x+1 \rfloor = 2$. Daher

$$\frac{2^{\frac{\lfloor x+1 \rfloor (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16} = \frac{2^{\frac{2 (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16}$$

Da kümmern wir uns nur um den Wert der Funktion in der Nähe $2^-$, Schreiben

$$\lim_{x \to 2^-}\frac{2^{\frac{\lfloor x+1 \rfloor (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16} = \lim_{x \to 2^-}\frac{2^{\frac{2 (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16}$$

ist gültig. Den Grenzwert von kann man nicht ersetzen$x$ eins nach dem anderen, z

$$4=\lim_{x \to 2} \frac {x^2-4}{x-2} \ne \lim_{x \to 2}\frac {4-4}{x-2} =0$$

Aber was wir Ihrem Beispiel angetan haben, ist keine Substitution. Ein anderes Beispiel wäre:

$$\lim_{x \to 0^-}\frac {|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-}\frac {-x}{x} = -1$$

da in der Nähe $0^-$, $|x| = -x$.