Große Crunch-Zeit

Question

Für ein Universum, das flach ist, Materie und eine kosmologische Konstante hat, können wir die Friedmann-Gleichung folgendermaßen schreiben:

$$\frac{H^{2}}{H^{2}_{0}} = \frac{\Omega_{m,0}}{a^{3}} + (1 - \Omega_{m,0})$$

Ich verstehe das, wenn der zweite Term negativ ist ($\Omega_{m,0}>1$) dann ist das endgültige Schicksal des Universums, dass es in der großen Krise wieder zusammenbrechen wird!

Ich verstehe, dass ich den Maximalwert des Skalierungsfaktors berechnen kann $H^{2}=0$ und dass ich die obige Gleichung als ODE nur mit etwas Algebra umschreiben kann, um den folgenden Ausdruck zu haben:

$$ H_{0}t = \int_{0}^{a} \frac{da}{(\Omega_{m,0}/a + (1 - \Omega_{m,0})a^{2})^{1/2}}$$

das bezieht die kosmische Zeit mit dem Skalierungsfaktor $a$. Meine Frage lautet dann wie folgt: Wie kann ich die Big Crunch-Zeit berechnen (z. B. die Zeit, die wir wieder haben werden?$a=0$?

Ich dachte darüber nach, dass es das Doppelte des obigen Integrals ist, wobei die Obergrenze das ist $a$ zu dem wir haben $H(t) = 0$, aber es macht für mich nicht viel Sinn. In der Einführung in die Kosmologie von Barbara Ryden heißt es auch, dass die Zeit, nach der ich suche, ist (Gl. 5.98):

$$ t_\text{crunch} = \frac{2\pi}{3H_{0}}\frac{1}{(\Omega_{m,0}-1)^{1/2}}$$

Was ich denke, deutet darauf hin, dass ich den falschen Ansatz versuche. Kann mir jemand helfen? Wie finde ich die obige Gleichung?

Answer 1

Dieses Integral hat eine geschlossene Lösung, $$H_0 t = \frac{2 \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-Ω_{m,0}}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{1-Ω_{m,0}}} = \frac{2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{Ω_{m,0}-1}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}.$$

Für ein rekollapsierendes Universum gibt dies nur die expandierende Hälfte der Evolution, die endet, wenn der Arkussinus seinen Maximalwert von erreicht $π/2$. Das Gesamtalter beträgt daher$2 \frac{2 (π/2)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}/H_0$.