Grundlegende Gruppennotation

Question

Ich arbeite derzeit an einem Problem im Text der algebraischen Topologie von Spanier . Insbesondere arbeite ich an Problem B4 in Kapitel 2, in dem man aufgefordert wird, dies zu beweisen$\pi(S^1 \vee S^1)$ ist nonabelian.

Nun, früher im Text, gibt der Autor an, dass $\pi(X,x_0)$ ist die Grundgruppe von $X$ basierend auf $x_0$. Meine Frage ist also, macht die Notation$\pi(S^1 \vee S^1)$ hier einfach die Grundgruppe von bezeichnen $S^1 \vee S^1$ohne Wahl des Basispunktes? Im Allgemeinen ist die Notation$\pi(X)$ oft verwendet, um einfach die Grundgruppe von zu bedeuten $X$? Dies würde für mich Sinn machen, da die Grundgruppe von$X$ ist unabhängig von der Wahl des Basispunktes.

Zum Schluss, wenn $\pi(X)$ ist wirklich etwas anderes als die Grundgruppe von $X$kann man es schaffen, das zu zeigen $\pi(X)$ ist nonabelianisch, indem gezeigt wird, dass die Grundgruppe von $X$ ist nonabelian?

Vielen Dank !

Answer 1

Ja, es ist üblich, den Basispunkt wegzulassen, wenn auf die Grundgruppe Bezug genommen wird. Dies ist ein Missbrauch der Notation, aber oft harmlos, da, wie Sie bereits erwähnt haben, die Grundgruppe eines mit dem Pfad verbundenen Raums unabhängig von der Wahl des Basispunkts bis zum Isomorphismus ist. (Allerdings sollte man damit vorsichtig sein, da der Isomorphismus nicht kanonisch ist, wenn die Grundgruppe nichtabelisch ist!)

Ich würde jedoch erwähnen, dass die Notation $\pi(X,x_0)$ (oder $\pi(X)$) wird für die Grundgruppe nicht häufig verwendet. Stattdessen wird es normalerweise aufgerufen$\pi_1(X,x_0)$ (oder $\pi_1(X)$ wenn der Basispunkt unterdrückt wird).

Answer 2

Sie brauchen keinen Basispunkt, weil $S^1\vee S^1$ist Pfad verbunden. Alle Grundgruppen an den verschiedenen möglichen Basispunkten wären isomorph.

Und $\pi_1(X)$ ist in der Regel die Grundgruppe von $X$, ($\pi_n(X)$ das sein $n$-th Homotopie Gruppe von $X$, wo Sie Homotopieklassen von Karten aus betrachten $S^n$ in $X$.)