Haben alle Sets eine starre Endomap?

Question

Lassen$X$ein Satz sein. Zwei Endomaps$f,f':X\to X$sind isomorph , wenn es eine Bijektion gibt$g:X\to X$so dass$f'=g\circ f\circ g^{-1}$. Eine Bijektion$g:X\to X$befriedigend$f=g\circ f\circ g^{-1}$heißt Automorphismus von $f$. Die Identität von$X$ist der triviale Automorphismus von$f$. Eine Endomap ist starr , wenn sie keinen nicht-trivialen Automorphismus zulässt.

Haben alle Sets eine starre Endomap?

Offensichtlich die Existenz einer starren Endomap eines gegebenen Satzes$X$hängt nur von der Kardinalität ab$|X|$von$X$.

Wir behaupten:

Wenn$|X|\le2^{\aleph_0}$, dann$X$hat eine starre Endomap.

Nachweisen:

Lassen$X$höchstens eine Kardinalitätsmenge sein$2^{\aleph_0}$, und lassen Sie uns das zeigen$X$hat eine starre Endomap$f$. Davon können wir ausgehen$X$ist nicht leer.

Wenn$X=\{1,\ldots,n\}$mit$n\ge2$legen wir fest$f(i)=\max\{1,i-1\}$. Wenn$X=\mathbb N$legen wir fest$f(i)=\max\{0,i-1\}$.

Nun nehme an$\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (Wir schreiben$|X|$für die Kardinalität von$X$.)

Lassen$I$sei die Menge der Isomorphismenklassen starrer Endomaps von$\mathbb N$. Wir behaupten

(1)$|I|=2^{\aleph_0}$.

Zeigen wir, dass (1) dies impliziert$X$hat eine starre Endomap. Wir können annehmen$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$wo$\bigsqcup$bedeutet "diskrete Vereinigung", wobei$J$ist eine Kardinalität$|X|$Satz nicht isomorpher starrer Endomaps von$\mathbb N$, und wo$X_j=\mathbb N$für alle$j\in J$. Für jeden$j$Lassen$f_j$sei eine Endokarte von$X_j$des Typs$j$. Dann$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$(offensichtliche Notation) ist eine starre Endomap von$X$.

Es bleibt nur noch (1) zu beweisen.

Lassen$X_0,X_1,\ldots$nichtleere endliche Teilmengen von sein$\mathbb N$so dass:

$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$

$\bullet\ X_0=\{0\}$.

Zum$n\ge1$Lassen$f_n:X_n\to X_{n-1}$Sei eine Karte, deren Fasern unterschiedliche Kardinalitäten haben, lass$f_0$Seien Sie die einzige Endokarte von$X_0$, und definieren$f:\mathbb N\to\mathbb N$durch$f(x)=f_n(x)$wenn$x\in X_n$.

Dann sieht man das leicht$f$starr ist, und dass wir Kontinuum-viele Isomorphie-Klassen solcher Endomaps haben$\mathbb N$.

Answer 1

Die Frage wurde von YCor auf MathOverlow beantwortet .

Ich wollte eine Community-Wiki-Antwort posten, die nur den obigen Satz enthielt, aber die Software hat sie in einen Kommentar umgewandelt. Ich versuche es erneut, nachdem ich den vorliegenden Satz und den folgenden Auszug aus YCors Antwort hinzugefügt habe:

"... es gibt (z$X\neq\emptyset$) eine verwurzelte Baumstruktur auf$X$dessen Automorphismengruppe trivial ist. In der Tat, dies gewähren und bezeichnen$v_0$die Wurzel, für einen Scheitelpunkt$v$definieren$f(v)$wie$v_0$wenn$v_0=v$, und als eindeutiger Scheitelpunkt in$[v_0,v]$im Abstand 1 zu$v$Andernfalls. Dann$f\in X^X$und sein Zentralisator in$\mathrm{Sym}(X)$ist die Automorphismusgruppe des entsprechenden Wurzelbaums, der auf reduziert wird$\{\mathrm{id}_X\}$."