Häufiges Problem mit Logarithmuswörtern

Question

Jedes Mal, wenn ein Lichtstrahl durch eine Glasplatte fällt, verliert er $\frac{1}{10}$von seiner Intensität. Wie viele Stücke ähnlicher Glasplatten werden benötigt, um die Lichtintensität geringer als zu machen$\frac{1}{3}$ von seinem ursprünglichen Wert?

Lassen $x$sei der ursprüngliche Intensitätswert des Lichtstrahls. Lassen$n$ die Anzahl der benötigten ähnlichen Glasplatten sein, um die Lichtintensität geringer als zu machen $\frac{1}{3}$ von seinem ursprünglichen Wert.

So $x(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})x$

$(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})$

$log_{10} {10^-n} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

$n × log_{10} {10} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

Schon seit $log_{10}{2} ≈ 0.3010$ und $log_{10}{3} ≈ 0.4771$, dann

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ -0.1761$

Ich habe eine negative Antwort für $n$. Hier steckte ich fest. Alle Kommentare und Vorschläge werden sehr geschätzt. Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Der Strahl verliert $\frac{1}{10}$von seiner Intensität. Dies bedeutet, dass die Intensität des Strahls nach dem Verlassen der Glasplatte gleich ist$\frac{9}{10}x$ (vorausgesetzt, dass $x$ ist die ursprüngliche Intensität).

Answer 2

Die von einer einzelnen Platte übertragene Intensität beträgt $0.9$, und von $n$ Platten ist $0.9^n$. Wenn Sie das kleinste wollen$n$ so dass dieser Wert nicht größer als $0.3333$,

$$0.9^n\le0.3333$$ dann

$$n\log0.9\le \log0.3333$$

$$n=\left\lceil\frac{\log0.3333}{\log0.9}\right\rceil=11.$$

Prüfen:

$$0.9^{10}=0.3487\cdots,\\0.9^{11}=0.3138\cdots$$

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Anmerkungen:

• Die Basis des Logarithmus spielt keine Rolle, da Sie ein Verhältnis nehmen.

• Da das Verhältnis nicht nahe an einer ganzen Zahl liegt, wird die Näherung verwendet $0.3333$ ist gut.

Answer 3

Nach dem Durchgang durch ein Glas verbleibende Intensität $= \frac{9x}{10}$ wenn die anfängliche Intensität ist $x$.

Nach dem Durchgang $n$ Brille, die verbleibende Intensität $= (\frac{9}{10})^n \times x \lt \frac{x}{3}$

Answer 4

Sie können auch nur einige Grundrechnungen verwenden. $$\frac{dx}{dn}=\frac{x}{10}$$ $$\Rightarrow \int_{x}^{\frac{x}{3}}\frac{1}{x}dx=-\int_{0}^{n}\frac{1}{10}dn$$ $$\Rightarrow \ln{\frac{1}{3}}=-\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow \ln{3}=\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow n≈10.981…$$

Wie wir brauchen $n$ eine natürliche Zahl sein, $\fbox{n≥11}$