Hauptelemente in $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$

Question

Ich muss feststellen, welches der Elemente $3+2\sqrt{5}$, $9+4\sqrt{5}$ und $4-\sqrt{5}$ sind Hauptelemente in $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$jeweils zugeordnet sind.

Mein Ansatz lautet wie folgt:

Also lass $x=3+2\sqrt{5}$ Teilen $ab$ zum $a,b \in R$. Also gibt es$u,v \in \mathbb{Z}$, so dass $$ab=(a_1+b_1\sqrt{5})(a_2+b_2\sqrt{5})=(a_1a_2+5b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1\sqrt{5})=(u+v\sqrt{5})(3+2\sqrt{5})=(3u+10v)+(3v+2u)\sqrt{5}.$$ Wie gehe ich von hier aus, um zu überprüfen, ob $x|a$ oder $x|b$?

Answer 1

$3+2\sqrt{5}$ hat Norm $-11$ und $4-\sqrt{5}$ hat Norm $11$. Vielleicht sind sie Mitarbeiter. Tatsächlich $$ \frac{3+2\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} = 2+\sqrt{5} $$ und $2+\sqrt{5}$ ist eine Einheit, weil sie Norm hat $-1$. Eigentlich,$(2+\sqrt{5})(-2+\sqrt{5})=1$.

$9+4\sqrt{5}$ ist eine Einheit, weil sie Norm hat $1$ und so $(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})=1$.

Es bleibt zu entscheiden, ob $3+2\sqrt{5}$ist Prime. Erwägen $$ \frac{\mathbb Z[\sqrt{5}]}{\langle 3+2\sqrt{5} \rangle} = \frac{\mathbb Z[\sqrt{5}]}{\langle 3+2\sqrt{5},11 \rangle} = \frac{\mathbb Z[X]}{\langle X^2-5,3+2X,11 \rangle} \cong \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,3+2X \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,2(7+X) \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,X+7 \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X+7 \rangle} \cong \mathbb Z_{11} $$ Welches ist eine Domain. Deshalb,$3+2\sqrt{5}$ ist Prime.