Hilfe bei der realen Analyse

Question

Ist die Sequenz ($x_n$) = $a^n(n^2)$ , $0<a<1$ konvergent?

Beweis, dass die Sequenz unbegrenzt und daher divergent ist:

Angenommen, es ist begrenzt, dann existiert es $M>0$, so dass $M\geq|x_n|$ für alle $n \in \Bbb N$. Wir stellen fest, dass seitdem$a>0$ und $n>0$sind alle Begriffe der Sequenz positiv. So$M\geq x_n$. Schon seit$a^n$positiv ist, dann muss auch sein Kehrwert positiv sein. Also durch Multiplikation beider Seiten mit$1/a^n$, wir erhalten $M/a^n\geq n^2$ für alle $n \in \Bbb N$.

Durch das archimedische Eigentum existiert $n_1 \geq M/a^n$, schon seit $M/a^n$ist positiv. Lassen$n_2 = n_1 +1$. Dann$n_2$ ist eine natürliche Zahl, und $n_2 > M/a^n$, so $$ n_2^2 > n_2 M/a^n > n_1 M/ a^n \geq M/ a^n $$ so $n_2^2 > M/ a^n$. Aber dann$M/a^n \geq n_2^2$ schon seit $n_2 \in \Bbb N$. Schon seit$n_2^2$ kann nicht mehr sein als $M/a^n$ und kleiner als oder gleich $M/a^n$ Gleichzeitig haben wir einen Widerspruch abgeleitet und daher ist die Reihenfolge unbegrenzt.

Beweis, dass die Sequenz konvergiert: Wir verwenden den Cauchy-Ratio-Test.

Nehmen Sie das Verhältnis $x_{n+1} / x_n$. Wir erhalten$$ (a^{n+1} (n+1)^2)/a^n n^2 = a(n+1)^2 / n^2 = a(n^2/n^2 +2n/n^2 + 1/n^2) = a(1+2/n+ 1/n^2).$$ Da die Sequenzen $1/n^2$ und $1/n$ beide konvergieren zu $0$konvergiert die Sequenz zu $a(1)+ a(2)(0)+a(0)= a$. Schon seit$a<1$dann konvergiert die Sequenz.

Könnte mir jemand helfen, welcher dieser Beweise ist falsch? Mache ich Fehler, Bereiche, die ich verbessern kann? Dankeschön!

Answer 1

Der erste Beweis ist falsch. Wenn es heißt "aber dann$M/a^n\ge n_2^2$ schon seit $n_2\in\mathbb N$"Es nimmt den wahren Satz $$\forall n\in\mathbb N:M/a^n\ge n^2$$ und dann ersetzen $n_2$ zum $n$ nur an einem der beiden Orte , was nicht erlaubt ist. Der Ablauf$(x_n)$ ist in der Tat konvergent zu $0$.