Hochdimensionale Kugel

Question

In der hohen Dimension geht das Volumen der Einheitskugel auf 0. Es ist definitiv kleiner als das Volumen der Kugel in drei Dimensionen.

Die Frage ist also, wie die d-dimensionale Kugel eine dreidimensionale Kugel enthalten kann.

Ich dachte, dass 1 Volumen in drei Dimensionen als Volumen des Einheitswürfels betrachtet wird.

Und 1 Volumen in d-Dimension wird als Volumen des Einheitswürfels in d-Dimension berücksichtigt.

Daher denke ich, dass die Art und Weise, das Volumen in verschiedenen Dimensionen zu berechnen, unterschiedlich ist.

Ist das die richtige Antwort? Ich weiß nicht, wie ich das erklären soll.

Danke im Voraus.

Answer 1

Eine gute Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist in $3$ vs. $2$Dimensionen, weil wir visualisieren können, was los ist. Das Volumen eines Radius$\frac 12 \ 3-$Ball ist $\frac 43\pi \frac 18=\frac \pi 6$. Die Fläche eines Radius$\frac 12\ 2-$Ball (eine Scheibe) ist $\pi \frac 14=\frac \pi 4$, was größer ist als das Volumen der Kugel, die es enthält. Das Volumen der Festplatte beträgt$0$weil seine Ausdehnung in der dritten Richtung Null ist. Es gibt keinen Widerspruch, weil wir über verschiedene Dinge sprechen.