$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ für jede Theorie $T$, jeder Kardinal $\lambda$.

Question

Lassen $T$ sei eine vollständige Theorie erster Ordnung.

Vorausgesetzt $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$ist es offensichtlich, dass $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? Die Frage wurde durch einen Blick auf Vaughts Vermutung auf Wikipedia beflügelt. Ich habe nicht viel modelltheoretisches Wissen, daher könnte es offensichtlich sein und ich bin nur dumm oder es könnte Technologie verwenden, die ich noch nicht behandelt habe. Oder ist das vielleicht nur wahr, wenn$\lambda = \aleph_0$ ?

Das einzige, woran ich denken kann, ist, die Anzahl der nicht isomorphen Modelle basierend auf den Typen zu zählen, die sie erfüllen, aber ich denke nicht, dass das ganz funktioniert.

Answer 1

In der von Ihnen beschriebenen Einstellung gibt es höchstens $2^\lambda$ $L$-Strukturen und daher sicherlich nicht mehr als $2^\lambda$ Isomorphismusklassen von Modellen von $T$.

Fix a $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, und lass $M$ eine Menge Kardinalität sein $\lambda$.

Für jeden $n$-ary Funktionssymbol $f$ wir müssen interpretieren $f$ als eine Funktion $f : M^n \to M$. Es gibt genau$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$viele solcher Funktionen zur Auswahl. Ebenso für jeden$n$-ary Beziehungssymbol haben wir $2^\lambda$ Optionen zur Auswahl, und für jedes konstante Symbol haben wir nur $\lambda$ Optionen zur Auswahl.

Also für jedes Symbol in der Sprache haben wir höchstens $2^\lambda$Entscheidungen. Da gibt es höchstens$\lambda$ Symbole in der Sprache, die Gesamtzahl der Entscheidungen, die wir treffen müssen, ist höchstens $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.