Integral mit Exponential und Polynom im Nenner

Question

Ich habe daran gearbeitet \begin{align} \int_0^\infty\frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+4)-x(x+1)e^{x-0.5x^2}} dx. \end{align}

Ich kämpfe darum, den Nenner zu vereinfachen. Hat jemand einen Vorschlag, wie ich mit dem Integral fortfahren könnte?

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Ich habe so etwas wie Teilfraktionen ausprobiert. Lassen$\mathcal{P}(x)=(x+2)(x+4)$ und $\mathcal{E}(x)=e^{x-0.5x^2}$. Dann,$$\frac{1}{x(x+1)(\mathcal{P}(x)-\mathcal{E}(x))}=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{\mathcal{P}(x)-\mathcal{E}(x)-1}{x(x+1)(\mathcal{P}(x)-\mathcal{E}(x))}$$ und die erste Amtszeit ist jetzt einfach, aber ich bin mir wieder nicht sicher, wie ich vorgehen soll.

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Ich bin dankbar für den Vorschlag von @Henry Lee, eine Substitution vorzunehmen, bei der das Exponential in einen einzelnen quadratischen Term geändert wird. $e^{-0.5x^2}$, ähnlich wie es in der Gaußschen Glockenkurve erscheint. Dies hat mir jedoch nicht geholfen, weitere Berechnungen erheblich zu vereinfachen.

Answer 1

Dies ist keine vollständige Antwort, sondern ein paar Vorschläge: $$I=\int\frac{dx}{x(x+1)(x+2)(x+4)-x(x+1)e^{x-0.5x^2}}=\int\frac{1}{x(x+1)}\frac{dx}{(x+2)(x+4)-e^{x-0.5x^2}}$$ Jetzt können wir das sehen: $$x-\frac{x^2}{2}=-\frac12\left(x^2-2x\right)=-\frac12\left[(x-1)^2-1\right]$$ also möglicherweise mit einer Substitution $u=x-1$ Am Ende haben wir: $$I=\int\frac{1}{(u+1)(u+2)}\frac{du}{(u+4)(u+6)-e^{1/2}e^{-u^2/2}}$$