Integraler Kernel von $e^{itH_{0}}$

Question

In der Quantenmechanik ist der zeitlich entwickelte Zustand eines Einteilchensystems gegeben durch $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$, wo $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ ist der freie Hamiltonianer, $t\in \mathbb{R}$ und $\Delta$ist der übliche Laplace-Operator. Ich habe irgendwo gesehen, dass beide$e^{itH_{0}}$ und $e^{tH_{0}}$Integrale Kernel haben, dh \ begin {eqnarray} (e ^ {- itH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (x, y, t ) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} und \ begin {eqnarray} (e ^ {- tH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int_ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ tilde {K} _ {0} (x, y, t) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray } wo$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ und $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$.

Frage: Wie kann ich (\ ref {1}) und (\ ref {2}) beweisen?

Answer 1

Grundsätzlich haben wir eine PDE $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

Nehmen Sie die Fourier-Transformation in der $\vec{x}$ Argument ergibt die ODE $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ mit Lösung $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

Die rechte Seite ist ein Produkt aus zwei Funktionen von $\vec{k}$ und ist daher die Fourier-Transformation einer Faltung: $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ wo $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

Wenn $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ dann $\hat{u}$ kann transformiert werden, was zu $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

So, $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$