Interpolationstheorie und $C^k$-spaces

Question

Betrachten Sie die Banach-Räume $C^k(M)$ (($k=0,1,2,\dots$), bestehend aus $k$mal kontinuierlich differenzierbare Funktionen $f:M\rightarrow \mathbb{C}$ auf einem geschlossenen Verteiler $M$(oder nur der Torus, wenn das einfacher ist). Ich habe einige Fragen zu ihrer Interpolationstheorie:

• Ist $C^1(M)$ ein Interpolationsraum für das Paar $(C^0(M),C^2(M))$? Nach Bergh-Lofström bedeutet dies, dass jede lineare Karte$T:C^0(M)\rightarrow C^0(M)$ was geht $C^2(M)$ invariant, geht auch $C^1(M)$invariant. Ich sehe nicht ein, wie man das beweisen würde. Der Grund, den ich mich frage, ist, dass dies eine ausreichende (aber nicht notwendige) Bedingung für den Verein wäre$(C^0,C^2)\mapsto C^1$ Erweiterung auf einen Interpolationsfunktor für Banach-Räume (Aronszajn-Gagliardo-Theorem).
• Können wir die Interpolationsräume identifizieren? $[C^k, C^l]_\theta$ oder $[C^k,C^l]_{\theta,p}$(Wo stehen die Klammern für komplexe bzw. reale Interpolation)? Ergebnisse dieser Art finde ich nur für Hölder-Zygmund-Räume$C_*^k$, die sich unterscheiden von $C^k$ für ganzzahlige Werte von $k$. Vielleicht kann man sich sogar identifizieren$C^k$ als Mitglied eines größeren Raummaßstabes (Besov, Triebel usw.)?

Answer 1

$C^1$ ist kein Interpolationsraum zwischen $C$ und $C^2$. Es gibt ein Beispiel von Mitjagin und Semenov für eine Sequenz$T_n$ von einheitlich begrenzten Operatoren sowohl in $C,C^2$ deren Norm explodiert $C^1$. Sie finden dieses Beispiel in der Broschüre von A. Lunardi "Interpolation Theory" (SNS Pisa Verlag). In der Ausgabe in meinen Händen ist es in Kapitel I, nach Beispiel 1.3.3, Seite 29.