Interpolationsungleichung (Sobolev-Einbettung)

Question

Lassen $\Omega$ sei ein $C^1$ Domain, für jeden $\epsilon>0, 0<|\alpha|<k$gibt es eine $C_\epsilon$ so dass $$||D^\alpha u||_{L^p}\leq \epsilon||u||_{W^{k,p}}+C_\epsilon||u||_{L^p}$$ für alle $u\in W^{k,p}$.

Ich habe versucht, es durch Widerspruch zu beweisen.

$\forall n \in \mathbb{N}, \exists u_n \in W^{k,p}$ so dass $||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon||u_n||_{W^{k,p}}+n||u_n||_{L^p}$.

Kann mir jemand einen Hinweis zur Verwendung der Sobolev-Kompaktheitseinbettung geben?

Ich habe versucht, das zu benutzen $W^{k,p}\subset \subset L^p$. Ich kann jedoch nicht zeigen, dass die Sequenz begrenzt ist$sup$.

Durch Normalisierung, $v_n=\frac{u_n}{||u_n||_{W^{k,p}}}$, Wir würden haben $$\frac{1}{||u_n||_{W^{k,p}}}||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon+\frac{n}{||u_n||_{W^{k,p}}}||u_n||_{L^p}$$

Answer 1

Es stellt sich heraus, dass die Einbettung $W^{k,p} \subset \subset L^p$kompakt zu sein ist nicht gut genug. Wir brauchen etwas Stärkeres: z$0<|\alpha| < k$ die Einbettung $W^{k,p} \subset \subset W^{|\alpha|,p}$ ist auch kompakt.

Sobald Sie haben (nach der Normalisierung) $\|u_n\|_{W^{k,p}} = 1$ für alle $n$, die Sequenz $u_n$ ist begrenzt in $W^{k,p}$ (weil $\sup_n \|u_n\|_{W^{k,p}} =1$ wie wir jeden von ihnen normalisiert haben), daher gibt es durch kompakte Einbeziehung eine konvergente Teilsequenz $u_{n_j} \xrightarrow{W^{|\alpha|,p}} u$.

Schreiben Sie nun die widersprüchliche Aussage auf: $$ \|D^{\alpha} u_{n_j}\|_{L^p} > \epsilon\|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} + n \|u_{n_j}\|_{L^p} = \epsilon + n \|u_{n_j}\|_{L^p} \tag{*} $$

Beachten Sie, dass seit $1 = \|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} \geq \|D^{\alpha}u_{n_j}\|_{L^p}$ist die LHS begrenzt durch $1$. Von hier aus muss die rechte Seite begrenzt werden durch$1$. Aber damit das passiert, müssen wir haben$\|u\|_{L^p} = 0$, wenn nicht, dann sieht die RHS so aus $\epsilon + n \|u\|_{L^p}$ für große $n$, die nur begrenzt ist $\|u\|_{L^p} = 0$. Daher$u=0$.

Aber wir haben auch $D^{\alpha} u_{n_j} \xrightarrow{L^p} D^{\alpha} u = 0$. Wenn wir jedoch Grenzen setzen$*$ wir bekommen $\|D^{\alpha}u\|_{L^p} > \epsilon$. Dies vervollständigt den Widerspruch.