Interpretation von Variationsnotizen

Question

Ich hätte gerne eine Erklärung, wie diese Lagragsche partielle Ableitung genommen wurde (Gl. 3). Dies ist wahrscheinlich besser für den Mathe-Stapelaustausch geeignet, dies ist jedoch für einen Physikkurs, weshalb ich hier poste. Basierend auf der Definition einer Taylor-Erweiterung:

Ich verstehe nicht, wie oder warum es nur der Teil ist, der geschrieben wird $q_i$ und nicht alle anderen Variablen für den zweiten Term, zusammen mit dem Grund, warum es nur wrt ist $\dot{q}_i$in der dritten Amtszeit. Darüber hinaus scheint es keine Konstanten zu geben, die mit jeder Funktion multipliziert werden, und auch nicht mit der$(x-a)$Begriff könnte sein. Die vollständige Ableitung ist in Gl. 5, aber es stimmt nicht mit dem überein, was die vollständigen Ableitungen in Gl. 3 sollte sein:

Eine vollständige Aufschlüsselung der Mathematik oder zumindest eine allgemeine formelhafte Erklärung wäre wünschenswert.

Answer 1

Ihre Definition der Taylor-Reihe in einer Variablen für Derivate erster Ordnung lautet

$$ f(x) = f(a) + \frac{\partial f}{\partial x}(a)(x-a) $$

Beachten Sie, dass wir Begriffe höherer Ordnung vernachlässigen. In zwei Variablen würde dies so aussehen

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)(x_1-a_1)+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)(x_2-a_2) $$

Lassen Sie uns die Notation so ändern $\delta x = (x-a)$, was eine infinitesimale Verschiebung der Parameter darstellt. Die obige Taylor-Serie ist

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)\delta x_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)\delta x_2 $$

Was passiert nun, wenn wir viele Variablen hatten? Wir können den obigen Ausdruck in ändern

$$ f(\vec x) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f(\vec a)}{\partial x_i}\delta x_i $$

Was passiert nun, wenn die Hälfte der Variablen auf natürliche Weise zusammen gruppiert ist (alle Positionen und auch alle Geschwindigkeiten)? Warum schreiben wir dies nicht für jede Dimension? $i$, speziell beide Variablentypen herausziehen!

$$ f(x_1, \dots,x_n,y_1,\dots ,y_n) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec a)\delta x_i+ \sum_i\frac{\partial f}{\partial y_i}(\vec a)\delta y_i $$

Angesichts der Einstein-Summationsnotation wissen wir jedoch, dass die Summation impliziert ist, sodass wir die Summationszeichen fallen lassen können, wenn wir möchten.

Die Aktion wird definiert durch

$$ S = \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

wo $q_i$ und $v_i$sind die Position und Geschwindigkeit in jeder Dimension. Eine Variation in der Aktion ist die Taylor-Reihe erster Ordnung in den Positionen und Geschwindigkeiten abzüglich der ungestörten Aktion.

$$ \delta S = \int dt\bigg\{L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t) + \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} - \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

Was sich vereinfacht

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} $$

Welches ist Ihr Endergebnis. Um zu den Euler-Lagrange-Gleichungen zu gelangen, können wir dann setzen$v_i=\dot q_i$ (dh nur wenn die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung der Position ist, ist die Lösung ein extremer Pfad der Aktion, aber das sind nur Details).

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta \dot q_i\bigg\} $$Um mit diesem Ausdruck fortzufahren, ist es nützlich, die Variationen in jeder Dimension zu sammeln, damit wir sie gemeinsam aus der Gleichung herausziehen können. Dies kann seitdem erreicht werden$\dot q_i = d_tq_i$ und daher kann der endgültige Term durch Teile integriert werden, um zu ergeben

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_i\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg\}\delta q_i + \delta q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg|^2_1 $$

Der letzte Term ist ein Grenzterm und dieser verschwindet aufgrund der Auferlegung, dass die Variation an diesem Punkt verschwindet, d. H. $\delta q=0$. Sie erhalten die Euler-Lagrange-Gleichung, nachdem Sie nur extreme Lösungen auferlegt haben$\delta S=0$.