Inverse des Hodge Star Operators

Question

Laut Wikipedia [https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_star_operator] ist das Gegenteil von Hodge Star Operator $*:\Lambda^k\rightarrow \Lambda^{n-k}$ ist $*^{-1}:\Lambda^k\rightarrow \Lambda^{n-k}$ definiert von $$\eta\rightarrow (-1)^{k(n-k)}*\eta.$$Aber warum ist es so definiert? Wie ist es umgekehrt?$*$Operator? Die Definition scheint vom zweimaligen Hodge-Star-Operator abgeleitet worden zu sein, aber wie funktioniert sie?

Answer 1

Ein Beispiel: wenn $v = e^1\wedge e^2 \wedge e^3 \wedge e^4$ ist die Volumenform auf orthonormaler Basis, dann seit $(e^1) \wedge (e^2\wedge e^3\wedge e^4)= v$, $$\star (e^1) = e^2\wedge e^3 \wedge e^4$$ und seit $(e^2\wedge e^3\wedge e^4)\wedge (e^1)= -e^1\wedge e^2 \wedge e^3 \wedge e^4 = -v$, $$\star(e^2\wedge e^3\wedge e^4) = -e^1.$$

Aber wie ein anderer Benutzer sagte, sollten Sie rechnen $\star \star$ auf einem allgemeinen (orthonormalen) Element, und siehe im Grunde passiert das Obige.