Isomorphismus $\phi:S_n\rightarrow S_A$.

Question

Ich arbeite gerade an einem Problem, wo zum Beispiel $H,K\subset S_5$, $H$ ist die Gruppe von Permutationen, die fixieren $1$, und $K$ ist die Gruppe von Permutationen, die fixieren $2$. Das Problem sagt, das zu zeigen$H\approx K$. Nach allem, was ich gesehen habe, geht es darum, das zu zeigen$H\approx S_4\approx K$, basierend auf der Tatsache, dass $H$ ist die Gruppe von Permutationen von $\{2,3,4,5\}$ und $K$ ist die Gruppe von Permutationen von $\{1,3,4,5\}$.

Ich habe eine allgemeine Vorstellung von einem Isomorphismus, den ich verwenden könnte, aber ich glaube, ich habe nur Probleme mit der Notation. Nehmen wir an, wir haben ein Set$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$und ich möchte eine Funktion definieren $\phi: S_4\rightarrow S_A$ (Ich hoffe, ich verwende die korrekte Notation für die symmetrische Gruppe auf $A$, aber bitte korrigieren Sie mich, wenn nicht). Die Idee ist, dass für jeden$\alpha\in S_4$ und $\beta\in S_A$, $\phi(\alpha)=\beta$ dann und nur dann, wenn $\alpha(x)=n$ und $\beta(a_x)=a_n$ für alle $1\leq x,n\leq4$;; zum Beispiel, wenn$\alpha(1)=3$, dann $\beta(a_1)=a_3$. Wenn ich zeigen kann$\phi$ ist ein Isomorphismus, dem folgt natürlich $H$ und $K$ sind isomorph zu $S_4$.

Ich habe zwei Fragen zu diesem Problem:

1. Gibt es eine einfachere oder formellere Notation für diese Funktion oder wäre die Art und Weise, wie ich sie präsentiert habe, geeignet genug?

2. Wird dies überhaupt benötigt, wenn man beides berücksichtigt? $S_4$ und $S_A$ sind die Gruppen von Permutationen auf 4-Element-Mengen?

Jede Hilfe wird geschätzt. Vielen Dank!

Answer 1

Lassen $X$ und $Y$ gesetzt werden und $f\colon X\to Y$eine Bijektion. Dann die Karte$\varphi\colon S_X \to S_Y$, definiert von $\sigma\mapsto(y\mapsto (f\sigma f^{-1})(y))$ist ein Isomorphismus. Insbesondere sind die symmetrischen Gruppen von zwei beliebigen endlichen Mengen mit der gleichen Anzahl von Elementen isomorph, woher$S_A\cong S_n$ für jeden Satz $A$ von $n$ Elemente.

Answer 2

Diese Untergruppen sind konjugiert. Nimm die Permutation$(12)$ dann ist eine Ihrer durch diese Permutation konjugierten Untergruppen die andere Untergruppe.