Ist das Feld $\mathbb{Q}(\pi)$ elementar äquivalent zu $\mathbb{Q}$?

Question

In der Modelltheorie sagen wir, dass zwei Strukturen elementar äquivalent sind, wenn sie dieselben Sätze erster Ordnung erfüllen. Zum Beispiel in der Sprache$\mathcal{L}=\{+,\cdot\}$, die Felder $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ und $(\mathbb{Q}(\sqrt{2}),+,\cdot)$ sind nicht elementar äquivalent, weil die $\mathcal{L}$-Satz

$$\sigma: \exists y\,\exists z\,\forall x\,(x\cdot z=x \wedge y\cdot y=z+z.)$$

gilt im zweiten Feld, aber nicht im ersten. (Grundsätzlich heißt es im Satz: "Es gibt ein Element, dessen Quadrat gleich ist$1+1$")

Gibt es jedoch eine einfache Möglichkeit, dies zu zeigen? $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ und $(\mathbb{Q}(\pi),+,\cdot)$ sind (oder sind) elementar gleichwertig?

Answer 1

Für jede rationale Zahl $x$, entweder $x$ oder $-x$ ist eine Summe von vier Quadraten in $\mathbb{Q}$. Doch keins$\pi$ Noch $-\pi$ ist eine Summe von vier Quadraten in $\mathbb{Q}(\pi)$. Ein schneller Weg, dies zu sehen, ist, dass es einen Automorphismus von gibt$\mathbb{Q}(\pi)$ tauschen $\pi$ und $-\pi$, damit $\mathbb{Q}(\pi)$ gibt eine Bestellung zu, in der $-\pi<0$ und eine andere in der $\pi<0$, aber in einem geordneten Feld ist jede Summe von Quadraten $\geq 0$.