Ist der Dirac $\delta$-Funktion unbedingt symmetrisch?
Der Dirac $\delta$-Funktion ist definiert als eine Verteilung, die diese Bedingungen erfüllt:
$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$
Einige Autoren setzen auch eine andere Einschränkung als Dirac $\delta$-Funktion ist symmetrisch, dh $\delta(x)=\delta(-x)$
Nun ist meine Frage, müssen wir die Einschränkung, dass der Dirac separat auferlegen $\delta$-Funktion ist symmetrisch oder kommt automatisch von anderen Einschränkungen?
Um meine Abfrage klar zu veranschaulichen, werde ich eine solche Funktion definieren: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ wo ${\rm rect}(x)$ ist definiert als: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ ist sicherlich nicht symmetrisch, erfüllt aber die folgenden Bedingungen: $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$
Meine Frage ist nun, können wir definieren $ξ(t)$ als Dirac Delta Funktion oder nicht?
Antworten
"Delta-Funktion" ist keine Funktion, sondern eine Verteilung. Die Verteilung ist ein Rezept für die Zuweisung einer Nummer zu einer Testfunktion. Diese Verteilung kann, muss aber keine Funktionswerte im gewöhnlichen Sinne haben. Im Falle einer Delta-Verteilung hat es keine Funktionswerte.
Also Aussage wie
$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ Bedeutung "Wert von $\delta$ beim $x$ entspricht dem Wert von $\delta$ beim $-x$"ist bedeutungslos / ungültig.
Aber Aussage $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ kann gültig sein.
Sie können leicht überprüfen, ob die Funktion von $\Delta$ und $x$ (der Ausdruck nach dem Grenzzeichen in der Definition von $\xi$) erfüllt keine dieser beiden Aussagen (in der Rolle von $\delta$). Es ist also nicht "symmetrisch".
Die Deltaverteilung kann hypothetisch nur die zweite Aussage erfüllen. Tut es das?
Wir können beide Seiten der Gleichheit bewerten. Die linke Seite hat per Definition einen Wert$\delta(x)$, $f(0)$.
Wir können das rechte Integral in verwandeln $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ Per Definition von $\delta(y)$Der Wert dieses Integrals ist $f(0)$, das gleiche wie auf der linken Seite. Also (**) ist zufrieden.
Die gleichung $\delta(x) = \delta(-x)$ ist somit Folge der Definition von $\delta(x)$ist es keine unabhängige Annahme.
Ihre Funktion $\xi$ kann tatsächlich auch der zweiten Aussage gehorchen (und somit in diesem Sinne symmetrisch sein), obwohl die $\Delta$-abhängiger Ausdruck nach dem Grenzzeichen nicht. Dies ist ähnlich für andere Näherungen der Deltaverteilung; Die Näherung hat möglicherweise keine Eigenschaften von$\delta$ (wie Symmetrie), aber die Grenze tut.
Das Symbol $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ mit zwei Argumenten $x,y\in\mathbb{R}$ist eine informelle Kernelnotation für die Dirac-Delta- Verteilung $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ definiert als
$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$
für Testfunktionen $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ Daraus folgt, dass das wie oben definierte Dirac-Delta symmetrisch ist $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$vgl. OPs Titelfrage.
Die Delta-Funktion ist eine Verteilung, die auf einer Reihe von Funktionen definiert ist. Mathematiker drücken dies normalerweise mit der Bra-Ket-Notation aus, wobei die Delta-Funktion der BH ist$<\delta|$ und $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$
Wenn Sie von der Menge der stetigen Funktionen sprechen würden, würden Sie meiner Meinung nach die Symmetrieanforderung nicht benötigen. Dies ist jedoch normalerweise nicht der Fall. In der Quantenmechanik verwenden wir die Menge der quadratisch integrierbaren Funktionen; Dies ist eine milde Anforderung, die Diskontinuitäten zulässt.
Wenn Sie nun Funktionen in Betracht ziehen, die bei Null diskontinuierlich sein können, müssen Sie explizit definieren, was zu tun ist. Die symmetrische Deltaverteilung sollte sein
$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$
und Sie könnten andere "Delta-Funktionen" haben, die in kontinuierlichen Funktionen gleich funktionieren, aber im Falle einer Diskontinuität anders funktionieren.
BONUS: In der eindimensionalen Quantenmechanik gibt es eine ganze Reihe von "deltaähnlichen potenziellen Barrieren", die durch die verschiedenen Verbindungsarten definiert sind $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ zu $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. Die Nomenklatur ist hier aufgrund von Fehlern in Lehrbüchern ein Albtraum. Jedes "Delta" oder "Barriere, das in einem einzelnen Punkt unterstützt wird" kann als Regel angesehen werden, um die Intervalle zu verbinden$(-\infty, 0)$ und $(0, \infty)$.