Ist ein Set ein Konzept?
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Da Sets sowohl eine absichtliche als auch eine erweiterte Definition haben, denke ich, dass es sich um Konzepte handelt. Aber vielleicht gibt es einen technischen Grund, warum Sets keine Konzepte sind?
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Kurze Antwort
Nach dem Eintrag 'Concepts' aus der Stanford Encyclopedia of Philosophy :
Konzepte sind die Bausteine der Gedanken. Folglich sind sie für psychologische Prozesse wie Kategorisierung, Folgerung, Gedächtnis, Lernen und Entscheidungsfindung von entscheidender Bedeutung. So viel ist relativ unumstritten. Aber die Natur der Konzepte - die Art der Dinge, die Konzepte sind - und die Einschränkungen, die eine Theorie der Konzepte bestimmen, waren Gegenstand vieler Debatten ...
Daher fragt Conifold Sie, was Ihre Definition von "Konzept" ist, da es sehr unterschiedliche Lesarten von verschiedenen Philosophen und Linguisten gibt. Unter den meist Standard - Lesungen, ein ‚Set‘ ist ein Grundkonzept, sondern Konzepte sind in der Regel in zwei Formen kommen, ein intuitiven oder naiv, und die anderen formalen , strengen, und in der Regel axiomatischen. Während das Wort "Menge" heute im Allgemeinen ein streng definiertes Konzept ist, können andere Wörter in natürlicher Sprache wie "Sammlung" verwendet werden, um auf das intuitive Konzept zu verweisen, um Verwechslungen mit dem intuitiven Begriff zu vermeiden. Beispielsweise definieren beide axiomatischen Systeme ZF und NBG 'set' als eine Art Sammlung und tun dies unterschiedlich.
Lange Antwort
Mit was Sie in diesem und dem vorhergehenden Beitrag zu kämpfen scheinen, ist, was genau ein Set und ein Konzept sind und in welcher Beziehung sie zueinander stehen. Lassen Sie uns also einige grundlegende Ideen ausarbeiten. Erstens hat man einen intuitiven Begriff von "Sammlung", etwas, das nur eine Sammlung von Dingen ist. In der modernen Philosophie wird das Studium der metaphysischen Vermutung von "Sammlungen" als Mereologie bezeichnet . Als Philosophen wie Frege, Cantor, Dedekind und Peano begannen, die Grundlagen der Mathematik zu untersuchen , stellten sie fest, dass so etwas wie Arithmetik intuitiv und nicht streng definiert war. Daher die Notwendigkeit, logische Axiome der Arithmetik zu erstellen und zu untersuchen . Die Frage, was eine "Sammlung" war, wurde durch Russells Entdeckung seines berüchtigten Paradoxons erschüttert , das in der Set-Builder-Notation eine recht einfache Aussage ist:
R: = {x: x∉x} -> (x∈x <-> x∉x)
Was im Grunde sagt, dass eine Menge, die ein Mitglied von sich selbst ist, kein Mitglied von sich selbst sein darf, daher paradox.
Daher mussten sofort die naiven Annahmen der Mengenlehre untersucht werden, die zwei Strategien auslösten, die im modernen Sprachgebrauch als ZF und NBG bekannt sind . Sobald dieser Prozess begann, ging die Definition von "Menge" von einer intuitiven "Sammlung" (was auch immer das bedeuten mag) zu einer strengen Definition von "Menge" und "Klasse" über. Aus Goldblatts Topoi :
[NBG hat eine starke konzeptionelle Unterscheidung zwischen Mengen und Klassen . Alle Entitäten, auf die in NBG Bezug genommen wird, werden als Klassen betrachtet, die unserer intuitiven Vorstellung von Sammlungen von Objekten entsprechen. Das Wort "set" ist für diejenigen Klassen reserviert, die selbst Mitglieder anderer Klassen sind. (S.10)
und:
[In ZF ... t] gibt es hier nur eine Art von Entität, die Menge. Alle Sets bestehen aus bestimmten einfachen Sets (tatsächlich kann man mit Ø beginnen) ... (S.11)
Sie haben also zwei Probleme im Spiel: Eines ist der Begriff, ein Wort zu nehmen, das ein intuitives Konzept ausdrückt, dh SET_nl (Menge, natürliche Sprache), und diese intuitive Idee mit Einschränkungen zu verwenden, um ein formales Konzept zu bilden, das normalerweise durch Notwendigkeit und definiert wird Suffizienz , dh SET_zf (Zermelo-Fraenkel) und SET_nbg (von Neumann-Bernays-Goedel). Dies ist ein gemeinsames Merkmal in der Sprache , wenn allgemeiner Sprachgebrauch in umgewandelt wird Fachsprache auf die irgendeine Form der formalen Logik wie die Einhaltung Verwendung Gesetze des Denkens .
Oh, und Intensität und Erweiterung in der Mengenlehre sind nett und einfach. Bei der Erweiterungsdefinition werden einfach die Elemente aufgelistet, dh D: = {cat, 2, aufwärts, 'Wahrheit'}, wobei die Intensionsdefinition Eigenschaften angibt und als Set-Builder-Notation bezeichnet wird . Sowohl Intensions- als auch Extensionsdefinitionen sind formale Methoden, während die Prototypentheorie in der Linguistik vorgibt, sich mit der intuitiven Definition zu befassen. In der Sprachphilosophie gibt es eine Spaltung zwischen jenen, die sich für eine wahrheitsbedingte Semantik einsetzen, die auf lexikalischer Semantik basiert, und breiteren Lesarten der Semantik, wie der kognitiven Semantik , die pragmatikorientiert sind .
Um es zu überprüfen, gibt es Konzepte in zwei großen Varianten, nämlich in natürlichen und formalen Sprachen, und Mengen können sich entweder auf den intuitiven Begriff einer Sammlung beziehen oder durch ein formalisiertes System streng definiert werden . Sobald Sie sich mit diesen beiden Dichotomien beschäftigt haben, sollte die Art und Weise, wie das Gehirn mathematische Kategorien konstruiert , etwas klarer werden.