Kettengitter eines Posets?

Question

Lassen $(P,\le)$ sei ein Poset und $C$ sei seine Menge von (gesättigten, falls erforderlich) Ketten, dh eine Menge von vollständig geordneten Teilmengen von $(P,\le).$ Gibt es eine kanonische Reihenfolge und treffen Sie sich, schließen Sie sich Operationen an $C$das macht es zu einem Gitter? Können wir daraus ein Verteilungsgitter machen?

Ich habe einige Stunden über diese Frage nachgedacht, konnte aber nichts Befriedigendes konstruieren. Daher dachte ich, die Meinung von Leuten zu fragen, die mit der Ordnungstheorie vertraut sind. Vielen Dank im Voraus für deine Hilfe.

Answer 1

Durch die Kreuzung wird C zu einem
Meet-Halbgitter.
Wenn C niedriger vollständig ist,
wird C durch Schnittmenge ein vollständiges Meet-Halbgitter.
Es gibt im Allgemeinen keine Verknüpfung.
Die Ketten von 0 <a, b sind
leere Mengen, {0}, {a}, {b}, {0, a}, {0, b}.
Da {{0, a}, {0, b}} keine Obergrenze hat, hat es keine Verknüpfung.
Trivally sind lineare Ordnungen Gitter und
vollständige lineare Ordnungen sind vollständige Gitter.