Komplexe Mannigfaltigkeit über definiert $\mathbb{Q}$

Question

Wenn wir komplexe projektive Sorten betrachten, die über definiert werden müssen $\mathbb{Q}$ bedeutet, dass es eine projektive Einbettung gibt, deren Bild der verschwindende Ort eines Polynomsystems mit Koeffizienten in ist $\mathbb{Q}$.

Wenn wir geschlossene komplexe Verteiler betrachten, gibt es keinen offensichtlichen Umgebungsraum.

Wir könnten jedoch verlangen, dass es eine positive ganze Zahl gibt $n$ und eine Auswahl von

• für jeden $1\leq i\leq n$, offene Sätze $U_i\subset M$
• für jeden $1\leq i<j\leq n$ so dass $U_i\cap U_j\neq \emptyset$Punkte $p_{i, j}\in U_i\cap U_j$
• für jeden $1\leq i \leq n$holomorphe Einbettungen $\phi_i:U_i\to \mathbb{C}^{d}$ so dass für jeden $i< j \leq n$ mit $U_i\cap U_j\neq \emptyset$ die Übergangskarten $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ sind Verhältnisse zweier holomorpher Funktionen $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ jeweils mit Taylorreihen mit Koeffizienten in $\mathbb{Q}$ um $p_{i, j}$ das konvergieren auf alle $\phi_i(U_i\cap U_j)$?

Wurde dieser Begriff untersucht? Gibt es eine geschlossene komplexe Mannigfaltigkeit, die nicht in der Fujiki-Klasse enthalten ist?$\mathcal{C}$ diese Bedingung erfüllen?

Answer 1

Beachten Sie, dass dies eine korrekte Antwort auf die ursprüngliche Frage ist. Ich werde sie hier belassen, obwohl die Frage jetzt geändert wurde. (Die ursprüngliche Frage kann wiederhergestellt werden, indem Sie zu den vorherigen Versionen zurückkehren.)

Tatsächlich hat jede komplexe Mannigfaltigkeit einen solchen Atlas.

Lassen $(M,J)$ sei ein (endlichdimensionaler) Komplex $n$-Vielfalt und lassen $\mathscr{U}$ eine offene Abdeckung von sein $M$mit den Eigenschaften, die (i) für jeden$U\in\mathscr{U}$, da ist ein $J$-holomorphes Diagramm $\zeta:U\to\mathbb{C}^n$und (ii) für jeden$U\in\mathscr{U}$ Es gibt einen Punkt $p\in U$ das liegt in keiner $V\in\mathscr{U}$ außer $U$. (Mit Parakompaktheit ist es nicht schwierig, ein solches Diagramm zu erstellen.) Wählen Sie dann einen solchen „Referenzpunkt“ aus.$p_U\in U$ mit $p_U\not\in V\in\mathscr{U}$ zum $V\not=U$ und ein $J$-holomorphes Diagramm $\zeta_U:U\to\mathbb{C}^n$ so dass $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$kommen wir zu einem "spitzen Atlas" $$ \widehat{\mathscr{U}} = \{ (U,\zeta_U,p_U)\ |\ U\in \mathscr{U}\ \} $$mit allen angegebenen Eigenschaften. Der Grund ist, dass das einzige Mal der Punkt ist$p_U$ liegt im Bereich einer Übergangsfunktion für den spitzen Atlas $ \widehat{\mathscr{U}}$ ist, wenn man von "übergeht" $U$ zu $V=U$und in diesem Fall ist die einzige Übergangsfunktion die Identitätszuordnung auf $\zeta_U(U)\subset\mathbb{C}^n$, dessen Taylor-Serie bei $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$ hat eindeutig alle Koeffizienten in $\mathbb{Q}$ (Tatsächlich sind alle Koeffizienten in $\mathbb{Z}$).