Können inkonsistente Systeme mathematisch interessant / nützlich sein?
Nach der Top-Antwort auf diese Frage:
In der Mathematik haben wir oft eine Vorstellung von einem Objekt, das wir formal darstellen möchten. Dies ist ein Begriff . Wir schreiben dann Axiome, um diesen Begriff zu beschreiben, und versuchen herauszufinden, ob diese Axiome sich selbst widersprechen. Wenn dies nicht der Fall ist (oder wenn wir nicht beweisen konnten, dass dies der Fall ist), beginnen wir mit ihnen zu arbeiten und sie werden zu einer Definition . Mathematiker lassen sich von dem Begriff leiten, arbeiten aber mit der Definition. Selten stimmen der Begriff und die Definition überein, und Sie haben ein mathematisches Objekt, das genau das ist, was unsere Intuition [der Mathematiker] uns sagt, dass es sein sollte.
Die Formalisierung unserer mathematischen Intuitionen scheint eine heikle Angelegenheit zu sein, zumal unsere Intuitionen selbst oft widersprüchlich sind und zu allerlei rätselhaften veridischen Paradoxien führen. Darüber hinaus hat Gödel gezeigt, dass dies nicht auf konsistente und vollständige Weise möglich ist. Wenn wir also eine nicht widersprüchliche Formalisierung finden, müssen wir die Vollständigkeit opfern.
Aber was ist, wenn wir stattdessen die Konsistenz aufgeben? Inkonsistente Systeme anstelle konsistenter Systeme könnten es uns ermöglichen, unsere (oft inkonsistenten) Intuitionen realistischer, wenn auch weniger nützlich zu formalisieren.
Leider scheint das Explosionsprinzip zu bedeuten, dass ein solches System grundsätzlich bedeutungslos ist, da jede Aussage sowohl wahr als auch falsch wäre. Es könnte jedoch einen Weg geben, dies zu umgehen. Zum Beispiel könnten wir die Regeln der logischen Folgerung so einschränken, dass das Prinzip der Explosion verhindert wird. Oder wir könnten alle Beweise auf eine bestimmte Länge beschränken (entsprechend der begrenzten Anzahl intuitiver Schritte, die eine Person gleichzeitig im Kopf ausführen kann).
Wurde das schon einmal versucht? Könnte es als Modell menschlicher mathematischer Intuition aufschlussreich / nützlich sein?
HINWEIS: Aus philosophischer und nicht aus mathematischer Sicht opfern viele Religionen / Denksysteme gerne die Konsistenz, um den inhärenten Widersprüchen in der menschlichen Intuition Rechnung zu tragen. Der Zen-Buddhismus ist wahrscheinlich das bekannteste Beispiel, und der Daoismus tut etwas Ähnliches, wenn auch weniger extrem. Ich habe auch GK Chestertons Buch „Orthodoxy“ gelesen, in dem er sein Glaubenssystem beschreibt (er ist Christ), und er behauptet, dass die vollständige Einhaltung von Logik und Vernunft zu Wahnsinn und absurden Konsequenzen führt und den Reichtum an Widersprüchen nicht erfasst Denken und Wirklichkeit.
Antworten
Ja, solche Systeme wurden tatsächlich untersucht - Schlüsselbegriffe sind "parakonsistente Logik" und "Relevanzlogik". Zu Quellen: Chris Mortensen hat einen zusammenfassenden Artikel und ein Buch zu diesem Thema geschrieben, obwohl letzteres einige Probleme hat (siehe hier ).
Ein weiterer wichtiger Begriff ist hier "Dialetheismus". Grob gesagt sind parakonsistente usw. Logiken in dem Sinne paradox tolerant, dass für eine Theorie in einer solchen Logik eine bloße Inkonsistenz keine Trivialität impliziert. Der Dialetheismus ist die philosophische Haltung, dass es wahre Widersprüche gibt. Graham Priest hat viel zu diesem Thema geschrieben (siehe zB hier ).
Trotzdem sind mir keine plausiblen Versuche bekannt, den ersten Unvollständigkeitssatz auf diese Weise zu umgehen: Ich kenne keine natürlichen Kandidaten für eine Theorie in einer parakonsistenten Logik, die rechnerisch axiomatisierbar ist, enthält $\mathsf{Q}$als Untertheorie (sagen wir) ist vollständig und plausibel nicht trivial. Wir können den zweiten Unvollständigkeitssatz jedoch in einem schwachen Sinne umgehen: Mortensens Buch diskutiert eine Arithmetik mit besonderer Relevanz, die klassische erste Ordnung enthält$\mathsf{PA}$ aber wessen Nichttrivialität ist $\mathsf{PA}$-nachweisbar. (Da Nichttrivialität in diesem Zusammenhang keine Konsistenz impliziert, verstößt dies nicht gegen den zweiten Unvollständigkeitssatz.) Eine weitere bemerkenswerte Anwendung ist die Fähigkeit der parakonsistenten Logik, die naive Mengenlehre zu verstehen. siehe zB hier .