Konzentration der Norm für Subgaußsche

Question

Ich lese Satz 3.1.1 in einem HDP-Buch von Vershynin. Der Satz besagt, dass

$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$

Das $\psi_2$ Norm ist die Orlicz-Norm mit Orlicz-Funktion $\psi(x)=e^{x^2}-1. $

Ich habe einen Ort gefunden, den ich im Beweis nicht verstehe.

Der ganze Beweis zeigte nur das $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $ist eine subgaußsche Zufallsvariable. Und im letzten Satz hat der Autor gerade gesagt, dass dies der Schlussfolgerung des Satzes entspricht.

Ich möchte nach der Gleichwertigkeit im letzten Satz fragen.

Ich habe versucht, die Zentrierungseigenschaft von Sub-Gauß zu betrachten, aber es scheint, dass $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $. Jeder Hinweis oder jede Idee wird geschätzt.

Answer 1

Ich habe den HDP-Kurs besucht, auf dem dieses Buch basiert, und ich denke, diese Ergebnisse haben auch eine Weile gedauert! Es gibt ein bisschen "kreisförmiges Gefühl", was Sie tun müssen, was (zumindest für mich) nicht sofort offensichtlich ist. Kurz gesagt, es gibt zwei Dinge im Spiel:

1. Erstens haben wir aus dem Beweis die Konzentrationsungleichheit $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ das gilt für alle $t \geq 0$. Wie Sie bereits erwähnt haben, bedeutet dies, dass der Absolutwertterm mit dem Parameter subgaußsch ist$K^2$. Aus Satz 2.5.2 wissen wir, dass es ein Äquivalent gibt (bis zu einem konstanten Faktor).$K_1=c_1K^2$ so dass $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$.
2. Aus der Definition der Orlicz-Norm, $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$Dies gibt die Norm als Infimum oder Minimal positiv an$t$ mit $\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$. Daraus schließen wir, dass die Norm nicht mehr als sein darf$K_1$. Wir haben verwandt$K_1$ zu $K^2$ oben und das Ergebnis folgt.