Limit innerhalb eines Limits

Question

Hey, kann mir bitte jemand Schritt für Schritt zeigen, dass das Folgende möglich ist? Ich kann anscheinend nicht herausfinden, wie man ein Limit innerhalb eines Limits auf ein einziges Limit reduziert und die Variablen 'a' und 'b' durch 'c' ersetzt.

(Jemand erwähnte iterierte Grenzen, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das genau zeigen soll.)

$$\lim_{a\to 0}\dfrac{\lim\limits_{b\to 0}\dfrac{{f(x+a+b)-2f(x+b)+f(x)}}{b}}{a}=\lim_{c\to 0}\frac{{{f(x+2c)-2f(x+c)+f(x)}}}{c^2}$$

Diese Idee wird beim Nachweis des Grunwald-Letkinov-Derivats verwendet (https://en.wikipedia.org/wiki/GrünwaldLetnikov_derivative) und sie erwähnten, dass dieser Schritt unter der Annahme erfolgt, dass sowohl 'a' als auch 'b' synchron konvergieren und durch MVT gerechtfertigt werden können. Wenn möglich, könnten Sie das erklären? und wie würde ich MVT verwenden, um dies zu rechtfertigen.

Answer 1

Sie können den oberen Zähler wie folgt umschreiben $f$ ist dann ableitbar:

$\underbrace{\dfrac{f(x+a+b)-f(x+a)}b}_{\to f'(x+a)}-2\underbrace{\dfrac{f(x+b)-f(x)}b}_{\to f'(x)}+\underbrace{\dfrac{f(x+a)-f(x)}b}_{\to\infty}$

Also es sei denn $f$ konstant ist, divergiert der letzte Term, seit Sie die nehmen $\lim\limits_{b\to 0}$ zuerst im ursprünglichen Ausdruck, daher denke ich nicht, dass dies ein wohlgeformter Ausdruck ist.

Hinweis: Sie können versuchen, sich bei zu bewerben $f(x)=x$

Es wäre sinnvoller zu ersetzen $-2f(x+b)$ durch $-f(x+b)-f(x+a)$ und vergleiche es mit $f''(x)$.