Lineare Funktionen $\varphi[h]=\lambda\psi[h]$, Variationen

Question

Aus der Variationsrechnung, G & F , ergibt sich das Problem: Gegeben sind zwei lineare Funktionen$\varphi,\psi$ über einen linearen Raum $R$ so dass $\varphi[h]=0\iff\psi[h]=0$. Zeigen Sie, dass es eine Konstante gibt$\lambda$ so dass $$\varphi[h]=\lambda\psi[h]\tag{1}\label{eq1}$$

Lassen $S\subset R$ das set wo $\varphi,\psi$sind beide Null. Was ich bisher habe ist: lass$\bar{h}:=\{k\in R:h-k\in S\}$ dann existiert $\lambda_h$ so dass $\varphi[k]=\lambda_h\psi[k]$ für jeden $k\in\bar{h}$, also Partitionierung $R$in disjunkte Mengen, in denen \ eqref {eq1} lokal gilt. Das habe ich. Ich fühle mich so nah dran, die Lösung zu vervollständigen, aber ich kann sie einfach nicht sofort sehen. Vielen Dank

Answer 1

Der Kern einer linearen Funktion ungleich Null hat immer eine Codimension$1$wegen des ersten Isomorphismus-Theorems.
Es bedeutet, dass wenn$x\in R\setminus S$ ist jedes Element, es zusammen mit $S$ überspannt schon den ganzen Raum, so dass $R={\rm span}(x)\oplus S$.
Beheben Sie eine solche$x$.

Natürlich nehmen $\lambda:=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}$, wie du es vor Ort getan hast $x$'.

Für jeden Skalar $\alpha$ und $s\in S$ wir haben $$\lambda\psi(\alpha x+s)=\lambda\alpha\psi(x)=\alpha\varphi(x)=\varphi(\alpha x+s)\,.$$