Logik der genauen Definition von Grenzen?

Question

Ich bin ein College-Neuling und studiere Kalkül bei Thomas. Im Moment lerne ich die genaue Definition von Grenzwerten mithilfe der Epsilon-Delta-Methode für Proofs usw.

Ich stelle fest, dass beim Nachweis der Grenze einer Funktion zuerst die Grenze angegeben wird und dann die Epsilon-Delta-Methode verwendet wird. Aber ist das nicht so, als würde man den Karren vor das Pferd stellen?

Zum Beispiel muss ich die Grenze von 5x-3 bei x-> 1 beweisen. Es scheint, dass die vorgeschriebene Reihenfolge nur die Substitutionsregel für Polynome verwendet, 2 als Limit erhält und dann die Epsilon-Delta-Methode verwendet, um zu zeigen, dass das Limit tatsächlich bei 2 liegt. Dies verwirrt mich, da das Limit kein Unbekanntes sein sollte 'first und ein Beweis werden verwendet, um das Limit als 2 abzuleiten. Woher weiß ich überhaupt, dass das Limit 2 als Ausgangspunkt verwendet werden sollte? Die logische Reihenfolge erscheint mir rückwärts.

Answer 1

Sie benötigen zunächst einen geeigneten Kandidaten / eine fundierte Vermutung für das Limit. Erst danach können Sie mit der genauen Definition beweisen, dass Ihre anfängliche Vermutung tatsächlich der Fall ist. Sie können auch sehen, dass dies das Beste ist, was Sie einfach anhand der Definition der Grenzwerte tun können:

Definition.

Lassen $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ eine Funktion sein, $a\in\Bbb{R}$. Wir sagen$f$ hat eine endliche Grenze bei $a$ wenn es existiert $l\in \Bbb{R}$ so dass für jeden $\epsilon>0$gibt es $\delta>0$ so dass für alle $x\in\Bbb{R}$, wenn $0<|x-a|<\delta$ dann $|f(x)-l|< \epsilon$.

(In diesem Fall können wir das beweisen $l$ ist einzigartig und wir bezeichnen es als $\lim_{x\to a}f(x)$)

Beachten Sie, wie die Definition mit "dort existiert" beginnt $l\in \Bbb{R} \dots$"Nur von der Art und Weise, wie es formuliert ist, deutet es darauf hin, bevor man es überhaupt überprüft $\epsilon,\delta$ Kriterium, müssen Sie einen Kandidatenwert für das Limit haben $l$. Nirgendwo sagt Ihnen die Definition was$l$ ist oder wie man das errät (solche "Vermutungsarbeit" lernen Sie auf Ihrem Weg, wenn Sie mehr erfahren).

Zum Beispiel, wenn Sie zwei Funktionen hatten $f$ und $g$mit $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ und $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$Wenn Sie dann nur auf die Definition von Grenzen starren, können Sie das nicht sagen $f+g$ hat auch eine Grenze und dass die Grenze gleich ist $l_1+l_2$. Die einzige natürliche Vermutung wäre, wenn$f+g$ hatte ein Limit, dann sollte es besser sein $l_1+l_2$.

Sobald Sie diese Vermutung haben, beweisen Sie dies mit der genauen $\epsilon,\delta$ Definition (wobei der Kern des Beweises die Dreiecksungleichung ist).