Massenbewertung mit Triple Integral

Question

Frage: Ermitteln Sie die Gesamtmasse eines Festkörpers, der sich zwischen der Oberfläche befindet$z=4-x^2-y^2$ und der Kegel $z=3\sqrt{x^2+y^2}$ im ersten Oktanten, vorausgesetzt, seine Dichte ist $rou(x, y, z)=2$ an allen Punkten.

Dies ist eine der Fragen, die ich vor kurzem im Test gestellt habe, und ich bin ziemlich gespannt, wie dieses Problem mit sphärischen oder zylindrischen Koordinaten richtig gelöst werden sollte. Ich habe zahlreiche Probleme mit Kegeln gemacht, die durch eine perfekte Kugel verbunden sind, aber noch nie ein Problem wie dieses gesehen, bei dem der Kegel durch eine Form mit einem nicht konstanten Radius verbunden ist (in diesem Fall ausgehend vom Ursprung). Generell gilt für kugelgebundene Kegelprobleme die$radius$ in zylindrischen und $rou$ in sphärisch sind Konstanten, und ich konnte nicht herausfinden, was die entsprechenden $radius$ oder $rou$ ist in diesem Problem.

Ich hatte schließlich keine Zeit mehr, um das Problem mit sphärischen Koordinaten zu lösen, und musste die kartesischen Hardcore-Koordinaten verwenden: $$m=\int_{0} ^{1}\int _{0} ^{\sqrt{1-x^2}} \int _{3\sqrt{x^2+y^2}} ^{4-x^2-y^2} 2\,dz\,dy\,dx$$

Die Gleichung sollte stimmen, aber ich konnte dies später nicht wie erwartet bewerten.

Könnte mir bitte jemand zeigen, wie das in sphärischen oder zylindrischen Koordinaten gemacht wird? Danke im Voraus!

Answer 1

Insbesondere zylindrisch $(r,\phi),z$ reicht von seinen Werten an der Oberfläche $z=3r$ zu seinem Wert auf der Oberfläche $z=4-r^2$. Diese beiden Flächen schneiden sich bei$r=1,z=3$. Somit ist die Projektion des Volumens auf die$(r,\phi)$ Flugzeug ist $r\le1$geben

$$M=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{3r}^{4-r^2}2dz~dr~d\phi=26\pi/3$$

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In sphärischer Form sind die beiden Kurven $r\cos\theta=4-r^2\sin^2\theta\implies r=\frac{\sqrt{15\sin^2\theta+1}-\cos\theta}{2\sin^2\theta}$ und $r\cos\theta=3r\sin\theta\implies\tan\theta=1/3$. Für einen bestimmten$\theta,\phi,r$ variiert zwischen $0$ auf seinen Wert auf der ersten Oberfläche dh $\frac{\sqrt{15\sin^2\theta+1}-\cos\theta}{2\sin^2\theta}$. Für einen bestimmten$\phi,\theta$ variiert zwischen $0\to\tan^{-1}(1/3)$geben

$$M=\int_0^{2\pi}\int_0^{\tan^{-1}(1/3)}\int_0^{\frac{\sqrt{15\sin^2\theta+1}-\cos\theta}{2\sin^2\theta}}2dr~d\theta~d\phi$$

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Edit: Mir wurde klar, dass wir nur die Masse im ersten Oktanten berechnen sollten. Da die Massendichte und das Volumen in den oberen vier Oktanten symmetrisch sind, können wir die Antwort durch Teilen erreichen$M$ durch $4$ohne die Integrale zu stören. Ansonsten einfach das Limit von ändern$\phi$ zu $0\to2\pi/4$ in beiden Integralen.