Massenschwerpunkt einer Orangenscheibe
In einer Frage in dem Buch Advanced Problems in Mathematics von Stephen Siklos wird dem Leser gesagt, dass er den Schwerpunkt eines kugelförmigen "Segments" (orangefarbene Scheibe) mit Radius annehmen soll$a$ einen Winkel einschließen $2\theta$ an der vertikalen Achse, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, liegt in einiger Entfernung $$\frac{3\pi a\sin\theta}{16\theta}$$von der Achse. Ich habe einen ungewöhnlichen Weg versucht, um zu diesem Ausdruck zu gelangen, bin aber zu einem anderen Ausdruck gekommen:
Angenommen, die Orangenscheibe ist so, dass die Achse, die durch die Mitte verläuft, entlang der Achse liegt $X$-Achse mit dem Ursprung im Zentrum der Kugel und der $Y$-Achse von der Achse auf die Oberfläche von Orange gerichtet. Ich betrachte dann infinitesimale orangefarbene Radiusscheiben$a$ Neigungswinkel $d\alpha$ an der Achse und fassen das Produkt ihrer Massen und der $Y$-Koordinate ihrer Massenschwerpunkte, da es keine gibt $X$-Komponente der COM unserer ursprünglichen Orangenscheibe.
Lassen $\gamma(\alpha)$ sei die Funktion, die den eingeschlossenen Winkel einnimmt und den Abstand von COM eines orangefarbenen Radiusstücks zurückgibt $a$von seiner Achse. Ich komme zu folgendem:$$\gamma(2\theta) = \frac{\int_{-\theta}^{\theta} \gamma(d\alpha) \cos \alpha \ dm }{\int dm} = \frac{\gamma(d\alpha)}{2\theta} \int_{-\theta}^{\theta} \cos \alpha \ d\alpha$$ Ich denke dann an $\gamma(d\alpha)$ wie $\lim_{\alpha\to0} \gamma(\alpha)=\frac{4a}{3\pi}$ Das ist das halbkreisförmige Scheibengehäuse, also $$\gamma(2\theta) = \frac{4a\sin\theta}{3\pi \theta} $$Offensichtlich ist etwas schief gelaufen. Kann mich jemand anleiten, wo meine Fehler sind?
Antworten
Intuitiv gesehen hat eine Orangenscheibe eine variable Dicke, null an der Achse und groß an der Oberfläche. Es ist ein Keil aus einer Kugel.
Daher können Sie es nicht als "Buch" behandeln, obwohl es halbkreisförmig und leicht geöffnet ist und die Schwerpunktsbereiche der flachen (anstelle von "eingeklemmten") "Seiten" summiert.
--- Nachtrag als Antwort auf Ihren Kommentar ---
$\gamma(\alpha)=\frac{4a}{3\pi}$ist der Schwerpunkt eines "flachen" Halbkreises, mit dem Sie die Orangenscheibe nicht "bauen" können.
Das einer dünnen Keilscheibe ist äußerlicher, da es dort relativ dicker ist.
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\begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\displaystyle% \int_{-\theta}^{\theta}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} r\sin\pars{\xi}\cos\pars{\phi}\, r^{2}\sin\pars{\xi}\,\dd r\,\dd\xi\,\dd\phi \over \displaystyle \int_{-\theta}^{\theta}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} r^{2}\sin\pars{\xi}\,\dd r\,\dd\xi\,\dd\phi} \\[5mm] = &\ {\pars{a^{4}/4}\pars{\pi/2}\bracks{2\sin\pars{\theta}} \over \pars{a^{3}/3}\pars{2}\pars{2\theta}} = \bbx{{3\pi \over 16}\,{\sin\pars{\theta} \over \theta}\, a} \\ & \end{align}