Mathematische CNOT-Interpretation
Früher dachte ich, dass CNOT die Amplituden des Ziel-Qubits mit der Chance von umdreht $b^2$ wo $b$ ist der $|1\rangle$Amplitude des Kontroll-Qubits. Dies ergibt, dass der Endzustand (nach CNOT) des Ziel-Qubits sein wird:$$ \sqrt{a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2} \big|0 \big\rangle + \sqrt{a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2} \big|1 \big\rangle $$ (Die Intuition ist die mit Wahrscheinlichkeit $a^2$ Es gibt keinen Flip und mit Wahrscheinlichkeit $b^2$Flip tritt auf) Tatsächlich endet ein solches Qubit jedoch nicht im Anfangszustand, nachdem zwei aufeinanderfolgende Anwendungen einer solchen Formel auf das Ziel-Qubit angewendet wurden. Entweder ist die obere Interpretation falsch oder ich habe die Mathematik irgendwo falsch gemacht. Wenn meine Interpretation falsch ist, können Sie bitte eine korrekte angeben? Wenn es richtig ist, helfen Sie mir bitte, es in Wahrscheinlichkeitsbegriffen abzuleiten und zu verstehen, wie die CNOT-Einheitsmatrix funktioniert.
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Für eine einzelne CNOT-Operation besteht der einfachste Ansatz darin, in boolescher Logik zu denken. Mathematisch wird dies normalerweise durch modulare Addition dargestellt, die die Wirkung von CNOT als ergibt$$\vert A, B \rangle \rightarrow \vert A, A \oplus B \rangle,$$ wo $\vert A, B \rangle$ ist das Tensorprodukt von $\vert A \rangle$ und $\vert B \rangle$, und $\oplus$ ist zusätzlich mod 2. Wenn dir das fremd erscheint, schreib einfach das aus $2 \times 2$Wahrheitstabelle und Sie werden sehen, dass hier nichts Kompliziertes vor sich geht (außer möglicherweise einer ungewohnten Notation). Das ist auch leicht zu sehen$A \oplus A \oplus B = B$Geben des erwarteten Ergebnisses nach sequentieller Anwendung.
Ein anderer Ansatz besteht darin, die Werkzeuge aus der linearen Algebra zu verwenden und CNOT als einheitliche Transformation darzustellen. Da CNOT eine Zwei-Qubit-Operation ist, ist die Dimension der Transformation$2^2=4$geben $$\vert A, B \rangle \rightarrow U_{CNOT}\vert A,B \rangle, \;\;\; U_{CNOT}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{bmatrix}.$$ Es lohnt sich auch, dies von Hand zu erarbeiten, wenn Unklarheiten darüber bestehen, warum es funktioniert $U_{CNOT}{}^2=I$.
Eine der problematischen Annahmen, die in der OP-Gleichung impliziert sind, ist die folgende $\vert A \rangle$ und $\vert B \rangle$sind nach CNOT trennbar, was im Allgemeinen nicht zutrifft. Mit anderen Worten, wenn$\vert A \rangle$ und $\vert B \rangle$sind nach CNOT verwickelt, können sie nicht mehr als lineare Kombination von reinen Zuständen dargestellt werden. An diesem Punkt werden Dichtematrizen relevant, um zu vermeiden, dass nach einer Reihe von Multi-Qubit-Gates exponentiell große Vektoren behandelt werden.
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Ihre logische Interpretation führt zu einer klassischen Korrelation zwischen den Messergebnissen der beiden Qubit-Zustände. Bell- und CHSH-Experimente haben zweifelsfrei gezeigt, dass verschränkte Qubit-Zustände nicht klassisch korrelieren.
Zumindest in Fällen, in denen CNOT eine Verschränkung erzeugt, ist Ihre Interpretation nicht mit dem Experiment vereinbar. Leider ist nach einem Jahrhundert der Debatte zu diesem Thema immer noch nicht klar, was die richtige Interpretation ist (oder ob eine solche Interpretation existiert). Noch bedauerlicher ist, dass es zahlreiche plausible Interpretationen gibt , die mit dem Experiment übereinstimmen.