Mehrere Explosionen

Question

Angenommen, ich betrachte innen $\mathbb{P}^6$, die Subvarietäten $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ und $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

Ich möchte verstehen, was die Explosion ist $\mathbb{P}^6$ entlang $Y,Z$. Nach Harris 'Buch Algebraic Geometry habe ich angefangen$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: das Ideal von $Y$ ist $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$und deshalb habe ich eine rationale Karte

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ und $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ ist die geschlossene Sorte, die dem Diagramm von zugeordnet ist $\phi$.

Jetzt möchte ich in die Luft jagen $\mathbb{P}^6$ entlang $Z$Also muss ich wohl lernen

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

und hier habe ich mehrere fragen:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? Ich denke schon, da ich den obigen Vorgang wiederhole, habe ich mich gefragt, ob eine Sequenz von$n$- Explosionen leben zum Beispiel in einem kartesischen Produkt von $n+1$-projektive Räume (obwohl ich sie offensichtlich über eine Segre-Karte einbetten kann);
• Kann ich gleichzeitig in die Luft jagen? $\mathbb{P}^6$ entlang $Y,Z$? Erhalte ich die gleiche Konstruktion?
• (Verbunden mit der obigen Frage): Was passiert wenn $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. Ja, Sie können dies tun - wann immer Sie etwas (lokal) herausschneiden, das von herausgeschnitten wurde $d$ Gleichungen im Inneren $X$können Sie Ihre Explosion in das Produkt einbetten $X\times\Bbb P^{d-1}$. Dies folgt aus der Beschreibung der Explosion als relatives Projekt:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$und lokal auf $X$ wir bekommen eine Vermutung $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ was (nach dem Kleben) einem geschlossenen Eintauchen entspricht $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. Ja, wenn $Y,Z$ Sind zwei disjunkte geschlossene Teilschemata dann alle Explosionen $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ und $Bl_{Y\cup Z} X$sind gleich. Dies kann lokal überprüft werden, da Explosionen Isomorphismen sind, die von dem, was Sie in die Luft jagen, entfernt sind.
3. Es stellt sich heraus, dass ein Teil unserer Schlussfolgerung aus 2 gilt, sobald wir angemessen verallgemeinern: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(Dies ist Lemma IV-41 in Eisenbud und Harris ' The Geometry of Schemes ). Beachten Sie, dass dies die Gesamttransformation ist, nicht die strikte Transformation - strenge Transformationen sind abhängig von der Reihenfolge. Ob dies gleich ist oder nicht$Bl_{Y\cup Z}(X)$ sollte wohl davon abhängen wie $Y$ und $Z$ überschneiden, aber ich habe momentan keine lehrreichen Beispiele zur Hand, und im Grunde genommen wird die gesamte allgemeine Theorie zur Auflösung von Singularitäten unter der Annahme einer Explosion entlang eines glatten Zentrums entwickelt, was Sie in die Situation von 2 zurückversetzt.