Minimale nicht lösbare Gruppen

Question

Mit "minimale nicht lösbare Gruppe" meine ich eine nicht lösbare Gruppe, deren alle richtigen Untergruppen lösbar sind.

Ich brauche einen Beweis oder ein Gegenbeispiel für den folgenden Satz:

Lassen $G$sei eine endliche minimale nicht lösbare Gruppe. Dann tritt eines der folgenden Ereignisse auf:

(ein) $G$ ist eine endliche nicht-abelsche einfache Gruppe;

(b) $G$ hat eine normale Untergruppe erster Ordnung $N$, so dass die Quotientengruppe $\dfrac{G}{N}$ ist eine endliche nicht-abelsche einfache Gruppe.

Danke im Voraus

Answer 1

Es ist nicht wahr. Ein Gegenbeispiel ist eine nicht geteilte Erweiterung$2^3.L_3(2)$ einer elementaren abelschen Ordnungsgruppe $8$ von der einfachen Gruppe ${\rm SL}(3,2)$.

Dann $G$ hat eine normale Untergruppe $N$ mit $G/N$ einfach, aber $N$ hat keine Hauptordnung.