Mit Gram-Schmidt eine orthogonale Basis finden

Question

Mir wurde folgende Frage gestellt:

Die angegebene Menge ist eine Basis für eine Teilmenge $W$. Verwenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren, um eine orthogonale Basis für zu erstellen$W$.$$\left\{\left[\begin{matrix}0\\8\\8\\\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}4\\7\\3\\\end{matrix}\right]\right\}$$

Das Gram-Schmidt-Verfahren ist eine Methode, um eine Basis zu drehen $(x_1,x_2)$ in eine orthogonale Basis $(v_1,v_2)$. Der erste Vektor kann gleich bleiben$v_1=\left(\begin{matrix}0\\8\\8\\\end{matrix}\right)$. Die Methode zum Finden des zweiten Vektors besteht darin, die Projektion des zu nehmen$x_2$ auf $v_1$ und subtrahiere es von $x_2$. Das sieht so aus:$$\vec{x}_2-\left[\frac{\vec{x}_2\bullet\vec{v}_1}{\vec{v}_1\bullet\vec{v}_1}\right]\vec{v}_1\\\vec{x}_2\cdot\vec{v_1}=0+54+24=80\\\vec{v}_1\cdot\vec{v}_1=0+64+64=128\\\frac{80}{128}\vec{v}_1=\left(\begin{matrix}0\\5\\5\\\end{matrix}\right)\\\vec{x}_2-\left(\begin{matrix}0\\5\\5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\\-2\\\end{matrix}\right)$$Meine endgültige Lösung lautet daher: $\vec{v}_1=\left(\begin{matrix}0\\8\\8\\\end{matrix}\right),\vec{v}_2=\left(\begin{matrix}4\\2\\-2\\\end{matrix}\right)$.

Ich bin zuversichtlich in Bezug auf meine Arbeit (möglicherweise irrtümlich :)), aber das Buch hat ein anderes Ergebnis: $$\vec{v}_1=\left(\begin{matrix}0\\8\\8\\\end{matrix}\right),\vec{v}_2=\left(\begin{matrix}4\\5\\-5\\\end{matrix}\right)$$Ich sehe, wie sowohl meine Lösung als auch die Buchlösung eine orthogonale Basis schaffen, aber habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Answer 1

Sie haben Recht und das Buch ist falsch.

In der Tat der zweite Vektor des Buches, $$\left(\begin{matrix}4\\5\\-5\\\end{matrix}\right)$$

gehört nicht dazu $W$.